Encontrar la vecindad prescrita en una variedad

Question

Dada una variedad uniforme, demuestre que para un conjunto abierto$U\subset M$siempre podemos encontrar un conjunto cerrado$\bar{B}\subset U$tal que$B$es un barrio de algún punto$p\in U$.

Mi intento: desde$M$tiene base de bolas regulares, existe$B\subset U$que es una pelota regular, entonces existe otra$B'$tal que$\bar{B}\subset B'$. Pero cómo mostrar que está contenido en$U$?

Answer 1

Elegir$p\in U$y elige una bola de coordenadas$V\ni p$con$V\subseteq U$. Podemos elegir esta bola para que haya un difeomorfismo$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$.Luego, establezca$W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, y luego tenga en cuenta que$\overline{W}\subseteq U$y eso$W$es un barrio de$p$.

Nota: la primera opción de$V$es posible porque existe una base por conjuntos abiertos coordinados.