Encontrar producto tensorial [duplicado]
Dejar $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$
Es $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$? Creo que esto es cierto, pero no sé cómo probarlo.
Amablemente ayúdame con una idea / pista.
Gracias por adelantado.
Respuestas
Es falso. Hay un mapa natural
$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$
que es inyectiva pero no sobreyectiva. Su imagen consiste en el subespacio de$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ que consta de sucesiones cuyos denominadores están acotados, o equivalentemente que se pueden poner bajo un denominador común (básicamente porque tensor por $\mathbb{Q}$ solo le permite dividir una secuencia entera entera por algún denominador común) y por lo tanto no contiene, por ejemplo, la secuencia $n \mapsto \frac{1}{n}$.
(Por otro lado, estos grupos son abstractamente isomorfos porque ambos son espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$de dimensión continua. Vea esta respuesta de math.SE que dice básicamente lo mismo).
En general, el producto tensor solo está garantizado para preservar productos finitos. Puede mostrar que la tensión con un módulo conserva infinitos productos si se presenta finamente (lo que$\mathbb{Q}$no es); ver esta respuesta math.SE .