Encuentra la derivada superior y las derivadas inferiores$\overline{D}\mu$y$\underline{D}\mu$.

Aug 20 2020

Aquí hay un ejercicio de la teoría de la medida de Cohn que no creo haber hecho correctamente:

Dejar$I$Sea el segmento de recta en$\mathbb{R}^2$que une los puntos$(0,0)$y$(1,1)$. Definir una medida de Borel finita$\mu$en$\mathbb{R}^2$Dejando$\mu(A)$sea ​​la medida de Lebesgue unidimensional de$A \cap I$. (Más precisamente, dejemos$T$sea ​​el mapa del intervalo$[0, \sqrt{2}]$sobre$I$dada por$T(t) = (t/\sqrt{2})(1,1)$y definir$\mu$por$\mu(A) = \lambda(T^{-1}(A)).)$Encuentra la derivada superior y las derivadas inferiores$\overline{D}\mu$y$\underline{D}\mu$.


Bueno, primero escribamos estas definiciones:$$(\overline{D}\mu)(x) = \limsup_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\}$$y$$(\underline{D}\mu)(x) = \liminf_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\},$$dónde$\mathscr{C}$es la familia de cuadrados cerrados no degenerados en$\mathbb{R}^2$(con lados paralelos a los ejes de coordenadas) y$e(C)$es la longitud del borde de$C \in \mathscr{C}$(y estoy asumiendo que, aquí,$\lambda$es la medida de Lebesgue sobre$\mathbb{R}^2$, a pesar del uso de la misma notación para la medida de Lebesgue en$\mathbb{R}$).

Claramente, si$x \notin I$después$(\overline{D}\mu)(x) = 0 = (\underline{D}\mu)(x)$.

Si$x \in I$entonces, para cada$C \in \mathscr{C}$tal que$x \in C$, tenemos eso$$\frac{\mu(C)}{\lambda(C)} = \frac{\lambda(T^{-1}(C))}{\lambda(C)} = \frac{\sqrt{2}e(C)}{(e(C))^2} = \frac{\sqrt{2}}{e(C)}. $$Entonces, para un fijo$x \in I$y para cada$\epsilon >0$, definiremos el conjunto$E_\epsilon$como sigue:$$ E_\epsilon = \left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\} = \left\{ \frac{\sqrt{2}}{e(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\}. $$Ya que$e(C) < \epsilon$, para cada$\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$, resulta que$$\frac{1}{\epsilon} < \frac{\sqrt{2}}{e(C)}, $$para cada$\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$; y desde$e(C)$puede hacerse arbitrariamente pequeño, se sigue que$$ \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\} = \infty. $$Así, la función$f(\epsilon) = \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\}$claramente tiende a$\infty$como$\epsilon \to 0$. Entonces (¿supongo?)$(\overline{D}\mu)(x) = \infty$si$x \in I$y$(\overline{D}\mu)(x) = 0$si$x \notin I$... lo que no parece correcto.

Del mismo modo, la función$g(\epsilon) = \inf\{E_\epsilon : \epsilon > 0\}$está limitada desde abajo por$1/\epsilon$, y$1/\epsilon$aumenta sin límite como$\epsilon \to 0$. De este modo,$g(\epsilon) \to \infty$como$\epsilon \to 0$, también. Asi que$\overline{D}\mu = \underline{D}\mu$. De nuevo, esto no parece correcto...

Respuestas

2 Mike Aug 20 2020 at 19:14

Creo que tu enfoque es correcto. Aquí está mi manera de hacer esto. Omitiré algunos pasos para algunos detalles.

Primero, extiendo las definiciones:

$$(\overline{D}\mu)(x,y)=\overline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$

Similarmente,

$$(\underline{D}\mu)(x,y)=\underline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$

Caso 1: Si$(x,y)\notin I$, podemos elegir$r>0$lo suficientemente pequeño como para que$\overline{B_r(x,y)}\cap I=\emptyset$. La razón es porque$I$es cerrado, por lo que su complemento es abierto en$\mathbb{R}^2$. Así que para suficientemente pequeño$r>0$,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{0}{\pi r^2}=0$$lo que implica$(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=0$.

Caso 2: Si$(x,y)\in I$, después$x=y$. Asumir que$(x,x)\neq(0,0)\neq(1,1)$. Para suficientemente pequeño$r>0$,$\overline{B_r(x,y)}\cap I$es parte del segmento de línea$I$, de longitud$2r$. Por lo tanto,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{2r}{\pi r^2}=+\infty$$lo que implica$(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=+\infty$.

Caso 3: Cuando$(x,x)=(0,0)$o$(1,1)$, para suficientemente pequeño$r>0$,$\overline{B_r(x,y)}\cap I$es parte del segmento de línea$I$, de longitud$r$. Por lo tanto,$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{r}{\pi r^2}=+\infty$$

El resultado es:$(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=0$si$(x,y)\notin I$y$(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=+\infty$si$(x,y)\in I$.