Encuentra la longitud de $x$.

Question

Dejar $ABC$ ser un triángulo rectángulo rectángulo en $B$. Las bisectrices de los ángulos$A$ y $C$ se dibujan, intersectando los lados opuestos en $D$ y $E$respectivamente. Dado que$CD=12$ y $AE=8$ encuentra la longitud de $AC$ (que se dio como $x$en la pregunta). Además, supongamos que los puntos en los que el círculo es tangente al lado$AB$ y $BC$ ser $F$ y $G$respectivamente. (Diagrama dado al final de la pregunta)

Probé dos enfoques:

Método 1: traté de usar trigonometría para este. Dejar$\angle BAO= \alpha$. Y deja$r$ sea ​​la magnitud del radio del triángulo $ABC$. También deja$EF=y$ y $DG=z$. Entonces en$\triangle AGO$ y $\triangle OEG$, $z=r \tan \alpha$ y $z=\frac{r}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)} - 12 $. Al peinarlos a ambos, obtengo esto:

$$12=r \left( \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)}- \tan \alpha \right) $$

Similarmente en $\triangle AGO$ y $\triangle OFD$ :

$$8= r \left( \dfrac{1}{\tan \alpha} - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \alpha\right) \right)$$

Dividiendo esas dos ecuaciones y simplificando dejando $t=\tan \alpha$, Obtengo la siguiente expresión: $t^3+4t^2-2t+2=0$ que tiene una solución extremadamente horrible, así que la dejé.

Editar : Soy un completo tonto e hice mal los cálculos: después de dividirlo se simplifica a$(2t-1)(t+3)=0$ después de lo cual sigue inmediatamente que $x=24$.

Enfoque 2 (incompleto): Entonces, en lugar de usar trigonometría, traté de usar técnicas elementales esta vez. Ya que$\triangle AFO \sim \triangle OGD$, obtenemos $$\frac{r}{y}=\frac{z+12}{r} \implies r^2 = y(z+12)$$

similar $r^2=z(8+y)$. Combinando esos dos, obtenemos$3y=2z$. El valor de$x=20+y+z$. Ahora solo si pudiera encontrar$y+z$la pregunta estaría terminada. ¿Alguien podría dar alguna pista o podría proporcionar una mejor solución?

Diagrama de la pregunta original:

Diagrama etiquetado:

Answer 1

Dejar $BC=a$, $AB=c$ y $a=tc$.

Así, desde $\frac{cx}{x+a}=8$ y $\frac{ax}{x+c}=12,$ obtenemos: $$\frac{a(x+a)}{c(x+c)}=\frac{3}{2}$$ o $$\sqrt{a^2+c^2}(2a-3c)=3c^2-2a^2$$ o $$\sqrt{t^2+1}(2t-3)=3-2t^2,$$ lo que da $$\sqrt{1.5}<t<1.5$$ Ahora, después de elevar al cuadrado obtenemos: $$t(4t-3)(3t-4)=0,$$ lo que da $$t=\frac{4}{3},$$ $$a=\frac{4}{5}x$$ y $$c=\frac{3}{5}x,$$ lo que da $x=24.$