Encuentra la suma de series: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Question

Tengo algunos problemas con la teoría de series. Las preguntas específicas son las siguientes: \ begin {ecuación} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ End {ecuación} Mi idea es así :

Ya que $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} Sin embargo, la respuesta es cosh $x$. La idea principal se basa en la serie de potencias de$e^x$ y $e^{–x}$. Luego agréguelos. Pero todavía no entiendo qué hice mal.

Puede alguien ayudarme por favor. Gracias.

Answer 1

Lo que hiciste mal fue cambiar $(2n)!$ a $2^nn!$.

Tenías razón en eso $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$,

entonces $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$.

$\dfrac{1+(-1)^n}2$ es $0$ cuando $n$ es extraño y $1$ cuando $n$ es par, entonces esto se convierte en $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $

Answer 2

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$