Encuentra la suma$\frac{7}{(2)(3)}( \frac 13) + \frac{9}{(3)(4)} (\frac 13)^2 + \frac{11}{(4)(5)} (\frac 13)^3..$hasta 10 términos

Question

Encontré el$n^{th} $de la serie como$$\frac{5+2n}{(1+n)(2+n)} (\frac 13)^{n}$$

Tiene el$\frac 13 $y$5+2n$no hubiera estado ahí, hubiera sido una serie telescópica

Del mismo modo, tuvo la$(1+n)(2+n)$término no hubiera estado allí, habría sido una progresión geométrica aritmética.

Sé cómo evaluarlos por separado, pero no al mismo tiempo.

¿Cómo resuelvo este?

Answer 1

Haz una expansión en fracciones parciales:

$$\frac{5+2n}{(1+n)(2+n)}=\frac{3}{(1+n)}-\frac{1}{(2+n)}$$

Multiplicación por$(\frac 13)^{n}$da:

$$\frac{1}{(1+n)}(\frac 13)^{n-1}-\frac{1}{(1+(n+1))}(\frac 13)^{n}$$

produciendo de hecho una suma telescópica.