Encuentra la versión más fuerte de$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3} \geqslant 0$

Question

Para$a,b,c \geqslant 0.$Después$$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3} \geqslant 0.$$Uso la computadora y descubrí que la siguiente desigualdad más fuerte se cumple para todos los reales de$a,b,c.$

$$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant \frac{81}{4} \sum ab \prod \left( a-b \right) ^{2}$$

Y también:$$\sum (a^2 -bc) \Big[9\, \left( a+b+c \right) ^{2} \left( ab+ac+bc \right) ^{2}+108\,{a}^{2 }{b}^{2}{c}^{2}-31\,abc \left( a+b+c \right) ^{3}\Big] \geqslant {\frac {27}{4}}\, \left( a+b+c \right) ^{2} \prod \left( a-b \right) ^{2}$$

Cualquier otra desigualdad$?$

Answer 1

Existe la siguiente versión más fuerte.

Dejar$a$,$b$y$c$ser no negativos. Pruebalo:$$9 ( a+b+c ) ^{2} ( ab+ac+bc ) ^{2}+108a^2b^2c^2-31abc ( a+b+c ) ^{3}\geq$$ $$\geq4(3\sqrt3-4)(a^3+b^3+c^3-3abc)abc.$$

La igualdad se da para$a=b=c$y para$(a,b,c)=t(6+4\sqrt3,1,1)$, dónde$t\geq0$y para cualquier permutación cíclica de la última.

Incluso si vamos a reemplazar$4(3\sqrt3-4)$en$4$, el BW no ayuda aquí!

Por cierto, esta desigualdad la podemos demostrar por$uvw$inmediatamente:

es equivalente a$f(v^2)\geq0,$dónde$f$aumenta

De hecho, deja$a+b+c=3u$,$ab+ac+bc=3v^2$y$abc=w^3$.

Por lo tanto, necesitamos demostrar que:$$729u^2v^4+108w^6-31\cdot27u^3w^3\geq4(3\sqrt3-4)(27u^3-27uv^2)w^3$$o$f(v^2)\geq0,$dónde$$f(v^2)=27u^2v^4+4w^6-31u^3w^3-4(3\sqrt3-4)(u^3-uv^2)w^3.$$Pero$$f'(v^2)=54u^2v^2+4(3\sqrt3-4)uw^3\geq0,$$que dice que$f$aumenta y es suficiente probar nuestra desigualdad para el valor mínimo de$v^2$, que por$uvw$sucede para el caso de igualdad de dos variables.

Como nuestra desigualdad es homogénea y para$w^3=0$es obvio, es suficiente para asumir$b=c=1$, lo que da:$$9(a+2)^2(2a+1)^2+108a^2-31(a+2)^3a\geq4(3\sqrt3-4)(a^3-3a+2)a$$o$$(a-1)^2(a-6-4\sqrt3)^2\geq0$$y hemos terminado.

Parece que esta desigualdad es cierta para cualquier real$a$,$b$y$c$,

pero es otro problema (el razonamiento anterior no ayuda porque$v^2$puede ser negativo).