Encuentra todos los grupos finitos$G$st para cualquier$a,b\in G$o$a$es un poder de$b$o$b$es un poder de$a$

Question

Encuentra todos los grupos finitos$G$st para cualquier$a,b\in G$o$a$es un poder de$b$o$b$es un poder de$a$

Creo que mostré que todos esos grupos son$Z_{p^n}$por$p$principal, es esto correcto? Primero mostré que el grupo debe ser cíclico considerando el elemento de mayor orden$\langle a\rangle$y logrando la contradicción si$\langle a\rangle\not= G$., y luego que si$Z_n$con$n$compuesto entonces no tiene esta propiedad. ya que hay dos subgrupos cíclicos disjuntos de órdenes coprimos.

¿Es esto correcto? ¿Todos los grupos son tales grupos?$Z_{p^n}$?

Answer 1

Esto es correcto. Bueno, aparte de lo de los "subgrupos disjuntos". Los subgrupos son "casi disjuntos", es decir, su intersección se reduce al elemento de identidad, pero no pueden ser literalmente disjuntos.

Answer 2

si, si tomas$a$con orden máximo y, por contradicción, hay$b\notin\langle a\rangle$, después$a=b^n$para algunos$n>1$, asi que$b$tiene un pedido mayor que$a$.

Por lo tanto$G$es cíclico.

Ahora podemos demostrar que el orden de$G$debe ser una potencia principal: no se puede excluir "compuesto" (un desliz menor, pero relevante).

Si$|G|$es divisible por dos primos distintos$p$y$q$, después$G$tiene subgrupos de orden$p$y$q$, pero estos tienen una intersección trivial, por lo que el grupo no puede tener la propiedad establecida.

Un grupo cíclico de orden.$p^n$($p$un primo) tiene la propiedad indicada.