Encuentra una función $f$ tal que $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ existe, pero $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$no. [duplicar]

Dec 28 2020

Contexto:

Estoy repasando algo de Análisis y actualmente estoy haciendo los ejercicios del libro Cálculo de M. Spivak, específicamente el capítulo 5 sobre límites. Todo iba bien hasta que me encontré con esta pregunta. Lo he estado pensando durante algún tiempo sin suerte.

Pregunta: "Da un ejemplo donde$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ existe, pero $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ no."

Mis intentos:

Una pregunta anterior mostró que $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, que creo que funciona porque podemos encontrar la tercera raíz de cualquier número real (que fue útil en la prueba épsilon - delta). Lo que me hace creer que lo anterior falla porque no podemos cuadrar los reales negativos de raíz. Esto me llevó a jugar con funciones que involucran$\sqrt{x}$ y utilizando su "indefinición" en los negativos.

Empecé con $f(x)=\sqrt{x-1}$ que claramente tiene un límite indefinido en $0$. Pero esto, por supuesto, no es diferente (considerando el límite en$0$ eso es para $f(x^2)$.

¿Alguna pista? Siento que estoy pasando por alto algo tan simple.

Respuestas

6 HagenvonEitzen Dec 28 2020 at 20:49

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

1 kam Dec 28 2020 at 22:07

Se me ocurrió otro ejemplo, aunque después de ver la respuesta de Hagon von Eitzen.

Podemos elegir $f(x)=\text{floor}(x)$.