Encuentre las 3 soluciones numéricas para $x[(x-2)^2+1]=6$
Encuentre las 3 soluciones numéricas para $x[(x-2)^2+1]=6$
Usé el método de prueba y error para encontrar soluciones enteras para $x$, y encontró que 1 posible solución es $x=3$. Sin embargo, hay otras 2 soluciones no enteras y no sé cómo encontrarlas.
Agradezco cualquier ayuda, gracias.
Respuestas
$$x(x^2-4x+5)=6$$
$$x^3-4x^2+5x-6=0$$
$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$
Solo tienes que verificar el discriminante de $x^2-x+2$ es negativo y concluimos que no existe otra raíz real.
Si está interesado en encontrar las otras raíces, puede usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces restantes.
Por ensayo y error educados:
Si asume que el ejercicio tiene una solución fácil, es probable que sea un número entero. $6$ factores como $2\cdot3$ y como el segundo factor es un cuadrado perfecto más uno, esto descarta $3$. Luego$x=3$ es un bingo!
Ahora cambiando lo desconocido con $x:=z+3$, obtenemos
$$z^3+5z^2+8z=0$$ o $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ cuya resolución es fácil.
Buscando soluciones enteras, la ecuación $x[(x-2)^2+1]=6$ es equivalente a $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ La segunda ecuación del primer sistema implica que $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$. Desafortunadamente, los únicos cuadrados mos.$3$ son $0$ y $1$, por lo que este primer sistema no tiene solución.
La segunda ecuación del segundo sistema significa $(x-2)^2=1$, es decir $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $. Solamente$x=3$ es compatible con la primera ecuación.
Por tanto, hay una única solución entera. Para las otras soluciones, podemos expandir lhs para obtener la ecuación cúbica, divisible por$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$
La ecuación cuadrática $x^2-x+2=0$ tiene raíces conjugadas complejas: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$