Entender el conteo excesivo

Question

Estoy tratando de entender cómo ajustar el conteo excesivo. Encuentro que el siguiente ejemplo es muy difícil de entender, es decir, entiendo todas las palabras y sus significados, pero lucho por sentirme "convencido".

Muestra esa:

$$\frac{(2 n) !}{2^{n} \cdot n !}=(2 n-1)(2 n-3) \cdots 3 \cdot 1$$

Explicación intuitiva (a través de una historia) dada por el libro de texto:

\ begin {array} {l} \ text {Mostraremos que ambos lados cuentan el número de formas de dividir} 2 n \\ \ text {personas en} n \ text {asociaciones. Tome} 2 n \ text {personas y proporcióneles números de identificación desde} 1 \ text {hasta} \\ 2 n \ text {. Podemos formar asociaciones alineando a las personas en algún orden y luego diciendo} \\ \ text {los dos primeros son un par, los dos siguientes son un par, etc. Esto se excede en un factor} \\ \ text {of} n! \ cdot 2 ^ {n} \ text {ya que el orden de los pares no importa, ni el orden dentro de cada} \\ \ text {par. Alternativamente, cuente el número de posibilidades señalando que hay} 2 n-1 \\ \ text {opciones para la pareja de la persona} 1, \ text {luego} 2 n-3 \ text {opciones para la persona} 2 \ text {(o persona} 3, \ text {si} \\ \ text {persona} 2 \ text {ya estaba emparejado con la persona} 1 \ text {), y así sucesivamente. } \ end {matriz}

¿Alguien puede explicarme 1) por qué el factor es $n! \cdot 2^n$ y 2) ¿cómo se deriva el RHS?

Answer 1

La primera parte dice que si tenemos que decir ABCDEF, entonces (AB) (CD) (EF) = (BA) (CD) (EF), y también (AB) (CD) (EF) = (CD) (AB) ( EF), habiendo $2^n$ variaciones del primer tipo, y $n!$ variaciones del segundo.

Entonces también tenemos $A$ se puede asociar con $BCDEF$, luego persona misteriosa $x$ se puede asociar con el resto $3$, etc.

Y $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{8\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = 5\cdot3\cdot1$.