Ergodicidad en transformación

Question

Suponer $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ está equipado con la topología del producto y dotado con el Borel $\sigma$-álgebra $\mathcal B(\Omega)$ y hay una medida de probabilidad $\mathbb P$ en $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ tal que el turno $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ es la medida preservadora, es decir $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ en $\mathcal B(\Omega)$, y ergódico, es decir $A=T^{-1}(A)$ implica $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ para cualquier $A\in\mathcal B(\Omega)$. Ahora deja$f:[0,1]^3\to[0,1]$ una función medible y $U:\Omega \to \Omega$ la transformación definida por $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Consideramos la medida de probabilidad $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ dónde $U^{-1}$ denota la preimagen.

Entonces por $T\circ U= U\circ T^2$, sostiene que $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$sigue siendo un sistema dinámico que preserva las medidas. ¿También es ergódico?

Editar: ¿Cuáles son ejemplos de medidas de probabilidad?$\mathbb P$ en $\mathcal B(\Omega)$ y conjuntos $A\in\mathcal B(\Omega)$ tal que $T^{-2}(A)=A$ pero $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (y por tanto necesariamente $T^{-1}(A)\neq A$)?

Answer 1

La respuesta es negativa: deja \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

La probabilidad $\mathbb P$ corresponde a la cadena de Markov irreductible en el espacio de estados $\{0,1\}$ con matriz de transición $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ que tiene una distribución estacionaria única $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. A la luz de la respuesta a esta pregunta matemática, SE el sistema dinámico$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$es preservador de la medida y ergódico (pero no mezcla). Ahora,$T^{-1}(A)=A$ pero $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ De dónde $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.