Es cierto que $\angle ACK=\angle BCL$ ¿en un círculo?

Question

Nota: este es el problema central que extraje de la siguiente pregunta, que he estado luchando durante horas y días y estoy a punto de rendirme.

Demuestra que dos ángulos suman 90 grados

El problema:

En un círculo, $MN$ es un diámetro. $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo tal que $AB\perp MN$ y $\angle ACB = 90^{\circ}$. $MA, MB$ intersecar el círculo en $K, L$. Pruebalo$\angle ACK=\angle BCL$.

Lo que he probado:

Tenga en cuenta que este problema tiene una condición "más flexible" que el problema original, por lo que no se garantiza que la afirmación sea cierta. $100$por ciento. Pero me he extendido$5$diferentes imágenes con muy alta precisión y comparamos manualmente los dos ángulos, que siempre son los mismos. Esto me lleva a creer que esta pregunta es la parte central del problema original.

Por lo dado, lo que puedo decir es $A,B,L,K$ son co-cíclicos y realmente no fui a ningún lado más allá de eso a pesar de pasar días.

Si dibujo líneas paralelas a $AC$ y $BC$ desde $M$ e intersecarlos con el círculo, obtengo un triángulo similar a $\triangle ABC$ que pasan por el centro del círculo, lo cual es agradable pero inútil en absoluto.

Los dos ángulos parecen tan remotos. Tengo la sensación de que hay un teorema que puede resolver este problema en varias líneas, pero simplemente no conozco el teorema.

La condición más estricta:

Si incluyo una condición más que $KB$ y $LA$ se encuentra con el círculo en $P,Q$ dónde $C$ se encuentra en línea $PQ$ y $PQ$ es perpendicular a $MN$entonces este problema es equivalente al problema original. Pero no creo que sea necesario para este resultado específico basado en la observación experimental. (Sin embargo, son necesarios para el problema original)

Answer 1

Marquemos la intersección de MN y AB como F. ​​Los triángulos ACF, BCF y ABC son congruentes. Al perseguir ángulos podemos ver que:

$BAC=BCN=BCL+LCN=CBM+NMB$

$ABC=ACN=ACK+KCN=CAM+NMA$

Suma los lados de las relaciones que obtienes:

$(BCN+ACN=90^o)=CAM+CBM+AMB$

Ahora, como en la figura, MD || AC y ME || BC por lo tanto: $DME=90^o$eso significa que DE es el diámetro del círculo y es paralelo a AB. Es decir, el triángulo DME y ABC son isósceles y los puntos K y L son espejo de MN (o CN). por lo tanto

$\widehat{ACK}=\widehat{BCL}$

Ahora la orientación de las líneas que construyen estos dos ángulos permanece constante, también sus medidas si el triángulo MDE gira alrededor de M y la base DE gira alrededor del centro del círculo pero la medida del ángulo DME permanece en $90^o$. Eso significa que si se hace el procedimiento inverso, es decir, primero se dibuja el triángulo MDE simétrico con respecto a MN, entonces siempre puede existir un triángulo rectángulo como ABC y ángulos iguales como ACK y LCB.