¿Es correcto este enfoque para encontrar el conjunto abierto más grande en el que esta función es analítica?

Aug 17 2020

Esta pregunta era parte de mi tarea en el análisis complejo.

Encuentre el conjunto abierto más grande en el que$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $es analítico.

escribí$F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $y luego computar$\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. luego en$F(t+h)$voy a conseguir$\mathrm{d}(t+h)$que pongo igual a$\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Entonces, estoy recibiendo$3$integrales.

Pero hay una confusión: el límite de$F(t)$es$0$a$1$sobre$\mathrm{d}t$pero debido a$\mathrm{d}(t+h)$dentro de la integral obtengo límite de$\mathrm{d}h$también igual a$0$a$1$y luego pondre el limite$h \rightarrow0$.

Después de eso solo quedan los cálculos. Entonces, ¿es correcto mi enfoque? Si no es así, por favor dígame cuál es el error y cuál sería el enfoque correcto.

¡¡Gracias!!

Respuestas

1 Vercassivelaunos Aug 16 2020 at 23:56

Puede usar la regla de Leibniz para integrales paramétricas: Si$D\subseteq\mathbb C$Esta abierto,$f:[a,b]\times D\to\mathbb C$es continuo, y$f_t(z):=f(t,z)$es analítico en$D$para todos$t\in[a,b]$, después

$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$

es analítico en$D$. En su ejemplo específico,$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$, que es analítico sobre$\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$para todos$t\in[0,1]$, ya que$f_t$es analítico en todas partes excepto en$z=-\frac{1}{t}$. Entonces, la integral en cuestión es analítica en el dominio que mencioné, y no está definida fuera de ese dominio, por lo que ese dominio también es el más grande en el que es analítica.