Es el Dirac $\delta$-función necesariamente simétrica?
El Dirac $\delta$-función se define como una distribución que satisface estas restricciones:
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
Algunos autores también imponen otra restricción a que Dirac $\delta$-La función es simétrica, es decir, $\delta(x)=\delta(-x)$
Ahora mi pregunta es, ¿necesitamos imponer por separado la restricción de que Dirac $\delta$-¿La función es simétrica o proviene automáticamente de otras restricciones?
Bueno, para ilustrar claramente mi consulta, voy a definir una función como esa: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ dónde ${\rm rect}(x)$ Se define como: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ ciertamente no es simétrico, pero satisface las siguientes condiciones, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
Ahora, mi pregunta es, podemos definir $ξ(t)$ ¿Cómo funciona Dirac Delta o no?
Respuestas
La "función delta" no es una función, sino una distribución. La distribución es una receta sobre cómo asignar un número a una función de prueba. Esta distribución puede tener valores de función en el sentido ordinario, pero no necesariamente. En caso de distribución delta, no tiene valores de función.
Entonces una declaración como
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ que significa "valor de $\delta$ a $x$ es igual al valor de $\delta$ a $-x$"no tiene sentido / no es válido.
Pero declaración $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ puede ser válido.
Puede verificar fácilmente que la función de $\Delta$ y $x$ (la expresión después del signo de límite en la definición de $\xi$) no satisface ninguna de estas dos afirmaciones (en el papel de $\delta$). Entonces no es "simétrico".
La distribución delta puede satisfacer hipotéticamente solo la segunda declaración. ¿Lo hace así?
Podemos evaluar ambos lados de la igualdad. El lado izquierdo tiene valor, por definición de$\delta(x)$, $f(0)$.
Podemos transformar la integral del lado derecho en $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Por definición de $\delta(y)$, el valor de esta integral es $f(0)$, lo mismo que el lado izquierdo. Entonces (**) está satisfecho.
La ecuacion $\delta(x) = \delta(-x)$ es, pues, consecuencia de la definición de $\delta(x)$, no es una suposición independiente.
Tu función $\xi$ puede en realidad obedecer también a la segunda afirmación (y por tanto ser simétrica en ese sentido), aunque el $\Delta$-expresión dependiente después del signo de límite no lo hace. Esto es similar para otras aproximaciones de distribución delta; la aproximación puede no tener propiedades de$\delta$ (como la simetría), pero el límite lo hace.
El símbolo $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ con dos argumentos $x,y\in\mathbb{R}$es una notación de kernel informal para la distribución delta de Dirac $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ definido como
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
para funciones de prueba $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ De ello se deduce que el delta de Dirac definido como anteriormente es simétrico $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. Pregunta de título de OP.
La función delta es una distribución, definida en un conjunto de funciones. Los matemáticos generalmente expresan esto usando la notación bra-ket, donde la función delta es el bra$<\delta|$ y $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
Si hablara del conjunto de funciones continuas, creo que no necesitaría el requisito de simetría. Pero este no suele ser el caso. En mecánica cuántica, usamos el conjunto de funciones cuadradas integrables; este es un requisito leve que permite discontinuidades.
Ahora, si está considerando funciones que pueden ser discontinuas en cero, entonces necesita definir explícitamente qué hacer, la distribución delta simétrica debe ser
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
y podría tener otras "funciones delta" diferentes que funcionan igual en funciones continuas pero funcionan de manera diferente en el caso de discontinuidad.
BONIFICACIÓN: en la mecánica cuántica unidimensional, tiene un conjunto completo de "barreras potenciales tipo delta" definidas por las múltiples formas de conectarse $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ a $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. La nomenclatura es una pesadilla aquí, debido a errores en los libros de texto. Cada "delta" o "barrera apoyada en un solo punto" puede verse como una regla para unir los intervalos$(-\infty, 0)$ y $(0, \infty)$.