¿Es la finalización de Cauchy la extensión más grande con la misma cocompletación libre?

Question

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Dejar $C$ ser una categoría, y $$\hat{C} = [C^{op}, (Set)]$$sea ​​su cocompletación libre. A pesar de su nombre, el cocompletado libre de cocompletado libre no es equivalente al cocompletado libre en general. A saber,$\hat{C} \not\simeq \hat{\hat{C}}$. Por ejemplo, tome$C = \{*\}$. [1].

Hay una mejor cocompletación, llamada finalización de Cauchy. $\bar{C}$. Si$C$ es pequeño, entonces tenemos $$ C \hookrightarrow \bar{C} \hookrightarrow \hat{C}.$$

Por el teorema 1 en [2], es mejor en el sentido de que $$\bar{C} \simeq \bar{\bar{C}},$$ entonces $\bar{C}$ es en realidad un cocompletado, y también que $$\hat{C} \simeq \hat{\bar{C}},$$ entonces $\bar{C}$ proporciona lo que $C$necesidades sin cambiarlo demasiado. Después de todo, en muchos casos es mejor ver$C$ como $\hat{C}$ [3].

Pregunta

Es $\bar{C}$ la categoría más grande entre $C$ y $\hat{C}$ cuya cocompletación libre es $\hat{C}$? Más precisamente, entre todas las categorías$D$ con $\hat{C} \simeq \hat{D}$ y $$C \hookrightarrow D \hookrightarrow \hat{C},$$ es $\bar{C}$ el universal?

Referencia

• [1] https://math.stackexchange.com/questions/3396276/presheaf-category-as-free-cocompletion

• [2] Compleción de Cauchy en la teoría de categorías- [Francis Borceux y Dominique Dejean]

• [3] https://mathoverflow.net/a/3185/124549

Answer 1

La respuesta es positiva.

Encontré un relato publicado con detalles del capítulo 6 y 7 del Manual de álgebra categórica 1 de Francis Borceux.

Gracias a los comentarios, se encuentran útiles enlaces que resumen cómo va

• equivalencia morita para categorías

• Equivalencia Morita a través de la extensión Kan

• Maravilloso artículo de Qiaochu Yuan