Es$\sigma(n)$inyectivo en conjunto$A=\left\{n\in\mathbb{N}: \mbox{$norte$ is odd and $\omega(n)=1$} \right\}$?
Hace un tiempo pregunté si la función suma de divisores$σ(n)$fue inyectivo, a lo que la respuesta fue no y se me presentaron varios contraejemplos, entonces comencé a preguntarme si restringiendo$σ(n)$a cierto$A\subset\mathbb{N}$, podría ser inyectivo. El primero que encontré fue el conjunto de números primos, y a partir de ahí traté de ver un conjunto más general, por ejemplo,$A=\left\{n\in\mathbb{N}: \mbox{$norte$ is odd and $\omega(n)=1$} \right\}$dónde$\omega(n)$representa el número de divisores primos distintos de$n$. De esta manera, si tomo$a,b\in A$tal que$a\neq b$, entonces queremos probar que$\sigma(a)\neq \sigma(b)$. Tenga en cuenta que$a,b\in A$implica que$a=p^{\alpha}$y$b=q^\beta$con$\alpha,\beta\in\mathbb{N}$y$p,q$primos impares. Ahora, desde$a\neq b$, entonces suponga sin pérdida de generalidad que$a<b$. Tenemos los casos:
Caso 1: Si$p=q$, entonces obligatorio$\alpha<\beta$y$\sigma(a)< \sigma(b)$.
Caso 2: Si$p\neq q$, después
Caso 2.1: Si$p<q$y$\alpha\le\beta$, después$\sigma(a)< \sigma(b)$
Caso 2.2: Si$p<q$y$\beta<\alpha$, después$\tau(b)=\beta +1<\tau(a)=\alpha+1$.
Y ahí paro, ¿alguien podría darme una idea de cómo continuar con la prueba? o dime si es falso que sigma no sea inyectiva en A?
Si tengo un error en la prueba, por favor hágamelo saber.
Nota:$\tau(n)$representa el número de divisores positivos de$n$.
Gracias por adelantado.
Respuestas
Creo que esta es la prueba, primero veamos la siguiente proposición:
Proposición: $I\left( p^{n}q^{m}\right) <2$para cualquier$ p, q $diferentes primos impares y$ n, m $enteros positivos.
Dónde$I$denota el índice de abundancia
Prueba: Tenga en cuenta que$p,q$son primos impares diferentes, entonces$(p, q)=1$implicando a su vez$\left(p^{n}, q ^{m}\right) = 1 $para cualquier$n, m \in\mathbb{N}$y como el índice de abundancia es multiplicativo, tenemos que \begin{eqnarray*} I\left( p^{n}q^{m}\right)=I\left( p^{n}\right)I\left (q^{m}\right)=\left(\cfrac{\sigma\left( p^{n}\right)}{p^{n}} \right) \left(\cfrac{\sigma\left (q^{m}\right)}{q^{m}} \right) \end{eqnarray*}
Pero, \begin{eqnarray*} \cfrac{\sigma\left( p^{n}\right)}{p^{n}}&=&\cfrac{1}{p^{n}}+\cfrac {p}{p^{n}}+\puntos+\cfrac{p^{n}}{p^{n}}\\ &=&\cfrac{1}{p^{n}}+\cfrac{ 1}{p^{n-1}}+\puntos+1\\ &=&\sum_{k=0}^{n}\left({1}/{p}\right)^{k}= \cfrac{1-{\left({1}/{p}\right)}^{n}}{1-{\left({1}/{p}\right)}}<\cfrac{1} {1-{\left({1}/{p}\right)}} \end{eqnarray*}
Del mismo modo para$ q $obtenemos
\begin{eqnarray*}\cfrac{\sigma\left( q^{m}\right)}{q^{m}}<\cfrac{1}{1-{\left({1}/{q} \right)}}\end{eqnarray*}
Por otro lado, como$ p $y$ q $son primos impares diferentes, entonces podemos asumir sin pérdida de generalidad que$3\le p<q$, esto es$p\ge3$y$q\ge5$, de aquí
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{1-{\left({1}/{p}\right)}}\le\cfrac{1}{1-{\left({1}/{3 }\right)}}\quad y\quad\cfrac{1}{1-{\left({1}/{q}\right)}}\le\cfrac{1}{1-{\left({ 1}/{5}\right)}} \end{eqnarray*}
Asi que,
\begin{eqnarray*} I\left( p^{n}q^{m}\right)=\left(\cfrac{\sigma\left( p^{n}\right)}{p^{n} } \right) \left(\cfrac{\sigma\left( q^{m}\right)}{q^{m}} \right)&<&\left( \cfrac{1}{1-{\ izquierda({1}/{p}\right)}}\right)\left( \cfrac{1}{1-{\left({1}/{q}\right)}}\right) \\ & \le&\left( \cfrac{1}{1-{\left({1}/{3}\right)}}\right) \left(\cfrac{1}{1-{\left({1} /{5}\right)}}\right)=\cfrac{15}{8}<2 \end{eqnarray*}
Ahora, vamos con la prueba de$σ(n)$es inyectivo en conjunto$A=\left\lbrace n\in\mathbb{N}:\mbox{$norte$ is odd and $\omega(n)=1$}\right\rbrace $
Prueba: dada$a,b∈A$tal que$a≠b$, entonces queremos probar que$σ(a)≠σ(b)$. Tenga en cuenta que$a,b∈A$implica que$a=p^α$y$b=q^β$con$α,β∈N$y$p,q$primos impares. Ahora, desde$a\neq b$surgen los siguientes casos:
Caso 1: Si$p=q$, entonces obligatoriamente$\alpha\neq\beta$y$\sigma(a)\neq\sigma(b)$.
Caso 2: Si$p\neq q$, entonces supongamos$\sigma(a)=\sigma(b)$, en consecuencia$I\left( ab\right)=I\left( a\right)I\left( b\right)<2$, ¿de dónde obtenemos \begin{eqnarray*}\left(\cfrac{\sigma\left( p^{\alpha}\right)}{p^{\alpha}} \right) \left(\cfrac{\ sigma\left( q^{\beta}\right)}{q^{\beta}} \right)<2\end{eqnarray*} o equivalentemente \begin{eqnarray*}\sigma\left( p^{\ alpha}\right) \sigma\left( q^{\beta}\right)<2p^{\alpha}q^{\beta}\end{eqnarray*} pero cómo$\sigma(a)=\sigma(b)$, entonces \begin{eqnarray*}\left( \sigma\left( p^{\alpha}\right)\right)^2<2p^{\alpha}q^{\beta}\end{eqnarray*} y este último es válido para cualquier$ p, q $diferentes primos impares tales que$\sigma(a)=\sigma(b)$y$ \alpha, \beta $enteros positivos. \end{eqnarray*}
Me había equivocado en la prueba anterior, por eso lo edito, agradezco a @shibai por hacerme notar. La prueba actual está incompleta, pero tal vez sea una pista para la prueba completa.