Escribe una línea en forma paramétrica

Question

Digamos que tengo la linea $3x+4y=2$

Quiero escribirlo en forma paramétrica. Resuelve para x o y.

Resolviendo para x: $x=\frac{2}{3}+\frac{-4t}{3}$

Resolviendo para y: $y=\frac{2}{4}+\frac{-3x}{4}$

En forma paramétrica se convierten en:

$\begin{bmatrix}2/3 \\ 0\end{bmatrix}+-t\begin{bmatrix} 4/3\\ 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}0 \\ 2/4\end{bmatrix}+-t\begin{bmatrix} 1\\ 3/4\end{bmatrix}$

Si los trazo, la resolución de la línea y es la misma que 3x + 4y = 2. Veo ejemplos en línea de personas que resuelven ambos x / y de manera intercambiable. ¿Estoy malinterpretando algo? ¿Qué pasa si quiero escribir una línea en su forma de parámetro, la variable que resuelvo importa?

Answer 1

Específicamente, cuando tiene una ecuación implícita, puede resolver para $x$ o $y$ para derivar una versión paramétrica (la única excepción es cuando $x$ o $y$ no aparece en la ecuación implícita, por ejemplo en las líneas $x-2=0$ y $3y+5=0$). Sin embargo, las representaciones paramétricas no son únicas, por lo que una sola línea puede ser representada por cualquier número de ecuaciones paramétricas.

En general, si una sola línea tiene dos representaciones paramétricas $\mathbb a_i + t \mathbb b_i$ para $i=1,2$ entonces debemos tener $\mathbb b_1$ es un múltiplo distinto de cero de $\mathbb b_2$ y ambos $\mathbb a_1$ y $\mathbb a_2$ debe estar en algún lugar de la línea, es decir $\mathbb a_1 + t\mathbb b_1 = \mathbb a_2$ por algún valor de $t$.

En su ejemplo, podría elegir el parámetro $t$ ser igual a $x$ o $y$ o de hecho alguna otra cantidad como $t=x+y$ dando

$$ \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{-2\\2} \right)+ t \left( \array{4\\-3} \right) $$Entonces, incluyendo los dos que ha derivado, tenemos tres representaciones en forma paramétrica. Por cierto, tiene un signo incorrecto en sus dos fórmulas, que debería leer$$ \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{2/3\\0} \right)+ t \left( \array{-4/3\\1} \right) \quad\text{and}\quad \left( \array{x\\y} \right)= \left( \array{0\\2/4} \right)+ t \left( \array{1\\-3/4} \right) . $$