Espacios isométricamente isomorfos

Question

$X$ es isométricamente isomorfo con $Y$, luego denotamos por $X \simeq Y$ y si $X \simeq Z$ para $Z$ un subespacio de $Y$, luego denotamos por $X \preceq Y$ (notación inventada).

Pruebalo $X \simeq Y$, si y solo si $X \preceq Y$ y $Y \preceq X$.

De hecho, parece muy natural, pero no sé por qué no puedo escribirlo.

Answer 1

Solo para hacer las cosas oficiales (y mover la discusión aquí en caso de que me equivoque):

No creo que esto se mantenga. Creo que necesitashttps://ncatlab.org/nlab/show/Cantor-Schroeder-Bernstein+theorem para que esto funcione, pero esto no es cierto para los espacios de Banach.