Espectro del momento angular y el momento angular al cuadrado

Oct 27 2020

Estoy tratando de entender cómo construir el espectro del momento angular; Por supuesto, dado que los diferentes componentes del momento angular no se conmutan entre sí, debemos elegir solo un componente para enfocarnos: digamos que elegimos$L_z$ componente, por lo que queremos encontrar el espectro de $L_z$. También sabemos por cierto que cada componente del momento angular conmuta con el cuadrado del momento angular$\vec{L}^2$, para que podamos diagonalizar $L_z$ y $\vec{L}^2$simultaneamente. El problema es: ¿por qué debería importarnos? ¿Por qué nos preocupamos por tener el espectro de función propia de ambos$L_z$ y $\vec{L}^2$? ¿No podríamos simplemente determinar el espectro de$L_z$? Esta es la primera parte de mi pregunta.

Pero digamos que nos importa por alguna razón: para determinar las funciones propias, esperaría un sistema como: $$L_z|m\rangle=a_{L_z}|m\rangle$$ $$\vec{L}^2|m\rangle=a_{L^2}|m\rangle$$ en cambio, en mis notas de clase está presente el siguiente sistema: $$L_z|l \ \ m\rangle=\hbar m|l \ \ m\rangle$$ $$\vec{L}^2|l \ \ m\rangle=\lambda _l|l \ \ m\rangle$$ por supuesto $a_{L_z},a_{L^2}$ son nombres arbitrarios para los valores propios y podemos reemplazarlos con lo que queramos, incluyendo $\hbar m$, podemos hacer esto, pero ¿por qué? ¿Por qué hay un$\hbar$? . ¿Por qué está poniendo un$\hbar$hay útil? ¿No crea más confusión?

Y en segundo lugar, pero más importante: ¿por qué los vectores propios están etiquetados con las dos letras$l,m$? Por lo general, cuando vemos algo como esto, por ejemplo$|+ \ \ -\rangle$significa que estamos tratando con dos partículas (o quizás que estamos en 2D); ¿Por qué está presente aquí el índice doble ya que estamos hablando de la misma colección de vectores propios para ambos operadores? ¿Es simplemente para mostrar que el mismo vector propio está correlacionado con un$L_z$ valor y un $\vec{L}^2$ el valor y la dimensionalidad no tienen nada que ver con eso?

Respuestas

1 J.Murray Oct 27 2020 at 17:08

¿Por qué nos preocupamos por tener el espectro de función propia de ambos $L_z$ y $L^2$? ¿No podríamos simplemente determinar el espectro de$L_z$?

Al contrario de lo que puede parecer, tener más restricciones hace que el problema sea más fácil de resolver, no más difícil. Por ejemplo, un autoestado genérico de$L_z$ con valor propio $0$ es de la forma

$$|\psi\rangle = \sum_{\ell=0}^\infty c_\ell |\ell,0\rangle$$

que abarca todos los valores posibles de $\ell$. Aquí hay una enorme cantidad de degeneración, y tratar de encontrar una solución con una infinidad de constantes indeterminadas es un ejercicio de masoquismo totalmente innecesario.

En cambio, también podemos exigir que nuestro autoestado de$L_z$ es un estado propio de $L^2$también. Hacer esto elimina toda nuestra libertad no deseada, porque los estados propios simultáneos de$L_z$ y $L^2$ son únicos (hasta la multiplicación por una constante, por supuesto).

por supuesto, aLz, aL2 son nombres arbitrarios para los valores propios y podemos reemplazarlos con lo que queramos, incluido ℏm, podemos hacer esto, pero ¿por qué? ¿Por qué hay un ℏ ?. ¿Por qué es útil poner un ℏ? ¿No crea más confusión?

Los valores propios de $L_z$ son múltiplos enteros de $\hbar$, y los valores propios de $L^2$ son de la forma $\ell(\ell+1)\hbar^2$ dónde $\ell$es un número entero no negativo. Puede etiquetar un estado propio simultáneo de$L^2$ y $L_z$ con los valores propios si lo desea, pero eso conduciría a expresiones como

$$|6\hbar^2,2\hbar \rangle + |2\hbar^2,\hbar\rangle$$

más bien que

$$|3,2\rangle + |1,1\rangle$$ donde en cambio hemos etiquetado los autoestados por los enteros $\ell$ y $m$. Si quieres escribir$\hbar$está por todas partes y constantemente averigua qué $\ell$ es cuando solo has escrito $\ell(\ell+1)$, entonces eres bienvenido, pero no es la convención estándar y nadie querrá descifrar tu trabajo.

Y en segundo lugar, pero más importante: ¿por qué los vectores propios están etiquetados con las dos letras l, m?

Debido a que los autovectores son autovectores simultáneos de ambos $L^2$ y $L_z$. Si solo escribes$|m\rangle$, ¿cómo se supone que voy a saber qué valor de $\ell$ a que corresponde el estado?

Por lo general, cuando vemos algo como esto, por ejemplo | + −⟩, significa que estamos tratando con dos partículas (o quizás que estamos en 2D).

Ese no es el caso aquí, ni suele ser el caso. Una de las cosas a las que debe acostumbrarse para tener éxito con la física y las matemáticas avanzadas es que la notación significa ni más ni menos de lo que nosotros la definimos.

En algún lugar de su texto / lección, el autor / su instructor dijo algo como "etiquetaremos un vector propio simultáneo de $L^2$ y $L_z$ con dos enteros, $\ell$ y $m$, para reflejar el hecho de que $L^2|\ell,m\rangle = \ell(\ell+1)\hbar^2 |\ell,m\rangle$ y $L_z|\ell,m\rangle = m\hbar|\ell,m\rangle$"así que eso es lo que significa. Si no está familiarizado con algo de notación, entonces debe verificar dónde está definido, pero ahora ha pasado la etapa en la que puede esperar que la notación sirva como definición. Las ideas con los que está trabajando son demasiado sutiles y complicados como para condensarse en unos pocos símbolos, por lo que debe mantener las definiciones en su cabeza (o consultar una referencia cuando sea necesario).