¿Está bien definida la integración en polinomios en el círculo?
quiero ver si hay un mapa bien definido$$\int_0^\theta\text{d}\theta:\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}\rightarrow\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}.$$Estoy comenzando mi estudio de geometría algebraica y he encontrado esto desconcertante. Esto está relacionado con otra publicación Coordenadas polares para polinomios en el círculo .
He intentado entrar en coordenadas polares pero no existe una expresión simple para una integral de la forma$$\int_0^\theta \text{d}\theta\,\cos(\theta)^n\sin(\theta)^m.$$Por otro lado, en coordenadas complejas se tiene$$\int_\mathcal{C}\text{d}z\,z^n\bar{z}^m=\begin{cases}i r^{n+m}\theta, & 1+n-m=0\\ \frac{z^{n+1/2}\bar{z}^{m-1/2}-(z\bar{z})^{(n+m)/2}}{1+n+m},&\text{otherwise.}\end{cases}$$aquí$\mathcal{C}$es el arco en el círculo de radio$r$Entre$0$y$\theta$. Así, en$\mathbb{C}[z,\bar{z}]$esto ni siquiera parece estar bien definido. Por ejemplo, en el caso$1+n-m=0$ni siquiera produce una función.
Respuestas
Al menos induce un operador bien definido en algunos polinomios. La clave es que hice mal el cálculo en coordenadas polares. El cálculo relevante es$$\int_0^\theta\text{d}\theta\,z^n\bar{z}^m=\frac{z^n\bar{z}^m}{i(n-m)}\in\mathbb{C}[z,\bar{z}],$$mientras$n\neq m$. Como tomar la parte real de un número complejo es lineal y todo polinomio real se puede obtener tomando la parte real de uno complejo, esto prueba lo que necesitábamos. El problema de$n\neq m$en el cálculo anterior se resuelve porque en el círculo los polinomios$z^n\bar{z}^n$están en la misma clase de equivalencia que$1$.