¿Está bien ordenada la clase de todos los conjuntos? (En un sentido más amplio)
Vi la pregunta Clases adecuadas bien ordenadas. y quiero preguntar lo siguiente.
¿La clase de todos los conjuntos está ordenada linealmente? Quiero decir, supongamos que usamos la teoría de conjuntos ZFC. (O ZFC + axioma de Tarski. (1) Por cierto, ¿dicho sistema contiene inconsistencias conocidas?). Todo universo está bien ordenado por el teorema de Zermelo.
(2) ¿Pero existe una clase que sea una biyección entre Ord y Set?
Creo que esa clase de universos está ordenada linealmente. Podemos preservar un orden en el universo inferior y agregar un orden de la diferencia de la teoría de conjuntos entre el universo actual y el anterior. (Que también es un conjunto porque pertenece al siguiente universo). (3) ¿Son válidas mis afirmaciones?
(4) ¿Cómo continuarlos o demostrar el buen orden de Set al revés?
Todo lo que quiero es demostrar de alguna manera que existe un elemento "mínimo" de cada clase adecuada.
Respuestas
(1) Casi todos los teóricos de conjuntos creen en la consistencia de ZFC y ZFC + axioma de Tarski (o equivalentemente, ZFC con una clase apropiada de cardenales inaccesibles). Por supuesto, no podemos probar su consistencia debido al teorema de incompletitud de Gödel si son consistentes.
(3) De hecho, la colección de todos los universos (Tarski-Grothendieck) está bien ordenada: tienen la forma $V_\kappa$ para algunos inaccesibles $\kappa$, y la clase de todos los inaccesibles son una subclase de la clase de todos los ordinales. De ahí que estén bien ordenados. (Tenga en cuenta que si se refiere a un universo meramente un modelo de ZFC, entonces no están ordenados linealmente).
Sin embargo, no podemos probar la clase de todos los conjuntos $V$está bien ordenado a partir de este hecho, incluso si tenemos el axioma de Tarski. Tienes que elegir un buen orden en cada paso, y se necesita una clase adecuada, muchas opciones, lo que no se justifica a menos que tengamos el axioma de la elección global.
(2) La clase de todos los conjuntos definibles por ordinales $\mathrm{OD}$ es una imagen biyectiva de la clase de ordinales $\mathrm{Ord}$. De hecho, si$X$ es una clase que es una imagen biyectiva de $\mathrm{Ord}$bajo una función de clase biyectiva definible , entonces$X\subseteq \mathrm{OD}$. Por tanto, si$V\neq \mathrm{OD}$, entonces no hay una biyección definible entre $\mathrm{Ord}$ y $V$.
Incluso si descartamos la definibilidad, no hay razón para suponer que hay una biyección entre $\mathrm{Ord}$ y $V$. Vea la respuesta relevante en Mathoverflow.
(4) Se sabe que son equivalentes:
- $V$ tiene un buen orden,
- Hay una biyección de $\mathrm{Ord}$ a $V$y
- El axioma de la elección global.
Hay algunos axiomas que implican el axioma de elección global: por ejemplo, el axioma de constructibilidad prueba que hay un ordenamiento global canónico. Sin embargo, el mero ZFC no prueba el axioma de Global Choice, incluso si asumimos el axioma de Tarski. Por lo tanto, no hay forma de probar la elección global a partir de sus teorías.