Estado del primer ordinal infinito $\omega$ dentro del análisis no estándar?
Con el tiempo libre recién descubierto durante la pandemia, he estado estudiando análisis no estándar. No me gustaban demasiado los ultrafiltros, así que me he inclinado hacia la teoría de conjuntos internos de Nelson y la teoría de conjuntos de Hrbacek. Aunque prefiero lo último, tengo más experiencia con el trabajo de Nelson, así que expresaré las cosas en términos de IST.
Tengo conocimientos básicos de números ordinales en teoría de conjuntos, de los cuales $\omega$es el primero. Quiero saber dónde encaja el conjunto en IST. ¿Es simplemente un número hiperfinito estándar? Intuitivamente, el hecho de que$\omega > n$ por cada número natural $n$, me hizo asumir que $\omega$ podría ser miembro de ${}^*\mathbb{N}$, ya que esta es la propiedad definitoria de estos números naturales. Encontré un artículo ( Taras Kudryk et al., 2004 ) que menciona enteros hiperfinitos estándar que demostraron en su Proposición 2.1 que:
Existe un $\mathbf{standard}$ R-infinito [es decir, en ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$] número hipernatural.
Según tengo entendido, cada conjunto definido de forma única en ZFC sin referencia al predicado estándar es estándar. Por tanto, el primer ordinal transfinito$\omega$es un conjunto estándar. Con esto, he estado esperando demostrar que$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$. Sin embargo, al mismo tiempo, recuerdo que no existe un número natural menos hiperfinito. Esto parece contradecir el hecho de que$\omega$ es el menor número ordinal.
En este punto, probablemente se esté mostrando mi falta de experiencia con la teoría de conjuntos. Mirando preguntas que discuten las diferencias entre$\omega$ y $\mathbb{N}$me hace darme cuenta de que podría estar sobre mi cabeza aquí ¿Podría tener alguna aclaración de aquellos con más experiencia con la teoría de conjuntos y sus extensiones no estándar? Donde hace$\omega$ (y realmente los números ordinales en general) encajan en IST?
Respuestas
El ordinal transfinito de von Neumann más pequeño $\omega$ y los elementos de ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$son diferentes tipos de objetos en conjunto. Preguntando "hace$\omega$ pertenecen al conjunto ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$? "no tiene mucho sentido, de la misma forma preguntar" ¿el grupo $S_3$ contener el conjunto $\mathbb{R}$ como elemento? "no tiene mucho sentido.
Puedo arreglar una situación en la que la respuesta a la última pregunta sea técnicamente sí. Por ejemplo, definiendo el grupo$S_3$ como el grupo con conjunto subyacente $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ y con tabla de multiplicar
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
no solo tenemos eso $\mathbb{R} \in S_3$, pero también que $\mathbb{R}$ es el elemento de identidad de $S_3$. Por supuesto, esto es un tecnicismo sin sentido y no debe confundirse con una relación matemática entre el grupo.$S_3$ y los números reales $\mathbb{R}$.
Dependiendo de su construcción de la extensión ${}^*\mathbb{N}$, puede organizar de manera similar para hacer $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ mantener, pero eso no le enseña nada sobre los ordinales: podría organizar, por ejemplo, $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ exactamente de la misma manera.
Con eso fuera del camino, ¿hay una forma matemática natural en la que el ordinal $\omega$corresponde a algún número natural fijo no estándar? La respuesta a esa pregunta es no, y sigue siendo no incluso si reemplazamos "número natural fijo no estándar" por "elemento estándar fijo de${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ dónde ${}^*\mathbb{N}$ denota alguna hiperextensión estándar de $\mathbb{N}$"(de hecho, sugiero evitar estas nociones mixtas de IST y NSA robinsoniana hasta que se sienta mucho más cómodo con ambos formalismos).
Lo mismo ocurre con su pregunta implícita sobre la obtención de números no estándar "concretos": no podrá precisar ningún número no estándar concreto utilizando los axiomas IST. La única forma de construir números no estándar es a través de la idealización (si omite el axioma de idealización de IST, es consistente con el sistema resultante que todos los objetos son estándar), y se pueden construir modelos de IST donde cada especificación por idealización (esencialmente cada no- tipo 1 aislado) se realiza mediante al menos dos elementos diferentes del modelo.