Evaluar el límite del cociente de dos sumas infinitas
¿Cómo puedo evaluar este límite?
$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$
Por WolframAlpha, el límite tiene que ser 2, pero ¿cómo puedo mostrar esto? Veo que es monótono aumentando así que cuando pude mostrar$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, estaría hecho. Pero estoy un poco atascado ...
Respuestas
tenga en cuenta que el denominador se puede reescribir como $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ Se vuelve bastante fácil después de esto: divida el numerador y el denominador entre $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Esto te da el limite$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$
La regla de L'Hopital tiene una versión discreta, bajo ciertas condiciones; generalmente se conoce como el teorema de Stolz-Cesaro . Aquí, tratamos la suma como integración (y, a la inversa, tomamos las diferencias como diferenciación). La declaración suele ser algo como esto: si la secuencia$\{ b_n \}$ es positivo y $\sum b_n = \infty$ (es decir, divergente), entonces para cualquier secuencia $\{ a_n \}$ de reales tales que $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, tenemos
$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$
Una consecuencia bastante interesante de esto es la prueba de comparación de límites.
Para el ejemplo dado, tome $a_n = 1/n$ y $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ Llegar $2$ como el límite.
Explicación intuitiva:
La razón es
$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ y para crecer $k$, el término $\frac12$se vuelve cada vez menos significativo. Al mismo tiempo, ambas series divergen, por lo que los términos iniciales no importan.
Por un argumento más serio, podría poner entre paréntesis las sumas por integración y obtener límites de la forma $\log n+c$. Entonces apretando
$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$
Comparando término por término, tenemos $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ Similar, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ Así, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ y por lo tanto, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Ahora aplique el teorema de la compresión.