Evaluar $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$
Se supone que debo evaluar la integral $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$. Lo resolví tradicionalmente simplificando el diferencial a$1/x . \mathrm dx$. Esto da la respuesta como$0$. Pero según las soluciones, se ha dado la siguiente respuesta para ser correcta.
$$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{1}{2}\left(e^2-e^{-2}\right)$$
No veo por qué la solución debería ser esta. Además de un logaritmo, los límites de integración son$-1$ a $1$, lo que parece problemático. ¿Alguien podría confirmar cuál es la correcta? Gracias.
Respuestas
@VIVID tiene razón. La notación integral puede ser engañosamente concisa a veces, cuando se compara con sumas como$\sum_{i=A}^{i=B}h(i)$. Necesitamos poner el equivalente de$i=$en los límites aquí. Cuando escribimos$\int_a^bf(x)dg(x)$, la convención es que significa $\int_{g(x)=a}^{g(x)=b}f(x)dg(x)$, que para aumentar estrictamente $g$ se convierte en $\int_{x=g^{-1}(a)}^{x=g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx$.
La mayoría de las veces, solo te encuentras con el caso $g(x)=x$. Para ser justos, algunas fuentes pretenden límites$a,\,b$ para $x$ en vez de $g(x)$. Sin embargo, eso no funcionaría aquí porque$\ln x$ no está definido en los reales para $x\le0$.
Nota: en este problema,$\ln x \in [-1,1]$ lo que implica $x \in [1/e,~e]$( no $x \in [-1,1]$).
Hacer una sustitución $(t = \ln x)$ para ver que esta pasando: $$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{-1}^{1}x^2 \mathrm dt\overset{t~\to~ x}=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\bigg|_{1/e}^e=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2e^2}$$
tenemos: $$I=\int_{-1}^1x^2d(\ln x)$$ y recuerda que podemos escribir esto como: $$d(\ln x)=\frac{d(\ln x)}{dx}dx=\frac1xdx$$ sin embargo, también debemos considerar que tenemos: $$(\ln x)\in[-1,1]\Rightarrow x\in[e^{-1},e]$$
Otra forma de pensar sobre este problema sería mediante la sustitución, o algo que me parece una buena visualización: $$x=e^{\ln x}\Rightarrow x^2=\left(e^{\ln x}\right)^2$$ entonces tenemos: $$I=\int_{-1}^1\left(e^{\ln x}\right)^2d(\ln x)=\left[\frac{e^{2\ln x}}{2}\right]_{\ln(x)=-1}^1$$
Además, intente trazar un gráfico con $\ln x$ en el eje xy $x^2$ en el eje y y vea qué forma tiene esta, espero que esto ayude :)
No estoy de acuerdo con todas las respuestas y estoy de acuerdo con el punto de vista del OP.
Se puede argumentar que la variable independiente es $x$ y la integral debería / podría haberse escrito expresamente como
$$\int_{x=-1}^{x=1} x^2 d \ln x = \int_{x=-1}^{x=1} x\, dx =0.$$
Después de todo, he visto esta notación utilizada como forma abreviada de integración por partes, y los límites se refieren a la variable independiente ($x$) y no a una función de la variable.
El hecho de que $\ln x$ no está definido para $x=-1$no excluye la posibilidad de que la integral sea una integral de línea en el plano complejo. Quizás un valor principal. Luego tenemos otras preocupaciones (que no son insuperables), ramificaciones y cortes de ramificación ...