¿Exactamente un inverso correcto implica invertible?

Question

Yo se que, en un ring con identidad$R$, si$a$tiene exactamente un inverso derecho$b$, después$a$es invertible Por cierto:

$$a(ba-1+b)=aba-a+ab=a-a+1=1,$$

de modo que$ba-1+b=b$, de este modo$ba=1$.

Sin embargo, ¿sigue siendo cierto para cualquier monoide, es decir, si, en un monoide$X$,$a$tiene exactamente un inverso derecho$b$, entonces es$a$invertible?

Si$X$es finito, entonces la respuesta es sí. De hecho, en un monoide finito$X$, si$a$tiene algún inverso derecho$b$, después$x\mapsto xa$es una función inyectiva de$X$a sí mismo, así que por finitud de$X$la función es sobreyectiva, por lo tanto hay un$c$tal que$ca=1$, por lo tanto$a$es invertible

Answer 1

La respuesta es "no" para los monoides. Considere el monoide ( bicíclico )$B$generado por 2 funciones$\mathbb{N}\to \mathbb{N}$. La función$p$es el cambio:$p(n)=n+1$. La función$q$es la pseudoinversa de$p$:$q(n)=n-1$si$n>1$y$q(1)=1$. Después$pq=1$($p$actúa primero) entonces$q$es un inverso derecho de$p$. De esto se sigue inmediatamente que cada elemento de$B$tiene la forma$q^kp^m$para algunos enteros no negativos$k,m$. Esto también implica fácilmente que$p$no tiene ningún otro derecho inverso en$B$. Pero$p$no tiene inversa ya que$qp\ne 1$.