¿Existe una base de datos sobre los valores particulares de $j$-¿invariante?
¿Existe una base de datos que tenga todos los valores particulares conocidos de la $j$-¿invariante?
Respuestas
¿Qué quieres decir con "conocido"? Para cualquier$\tau\in\mathbb C$ con $\text{Im}(\tau)>0$, uno puede calcular $j(\tau)$con tanta precisión como lo permita la computadora, pero presumiblemente eso no es lo que quieres decir. En general, si$\tau$ es algebraico y $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, luego $j(\tau)$ es trascendental sobre $\mathbb Q$, por lo que debe explicar qué constituiría "conocer" el valor. Cuándo$\tau$ es cuadrático sobre $\mathbb Q$, la curva elitpica asociada tiene CM, y $j(\tau)$ genera el campo de clase Hilbert de $\mathbb Q(\tau)$. En ese caso, uno puede en principio determinar el campo y luego escribir$j(\tau)$en términos de una base para ese campo. ¿Es eso lo que quieres decir? Si es así, estoy seguro de que se han elaborado muchos ejemplos a lo largo de los años, pero no estoy al tanto de un lugar donde se hayan recopilado. Aunque presumiblemente se han hecho para todos los campos cuadráticos imaginarios de un número de clase pequeño. Hay un cálculo de muestra para$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$en mi libro Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas (Ejemplo II.6.2.2), donde se muestra que$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (El campo $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ tiene la clase número 2, y su campo de clase Hilbert es $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)
Cualquier base de datos (finita) que contenga expresiones explícitas para j-invariantes de curvas elípticas con CM se puede ampliar agregando j-invariantes de curvas elípticas isógenas. Dada una curva elíptica$E$ en su forma Weierstrass y un subgrupo finito $F$de él, un artículo clásico de Velu proporciona ecuaciones explícitas para$E':=E/F$ y la isogenia $E\rightarrow E'$. Ahora suponga que estamos trabajando sobre$\Bbb{C}$ y sabemos que $E$ es isomorfo a $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$, de ahí el conocimiento del valor especial $j(\tau)$. La$j$-invariante de $E'$, que puede calcularse explícitamente usando su ecuación, luego produce otro valor especial $j(\tau')$ del modular $j$-función donde $\tau'$ es un período de $E'$. Alternativamente, uno puede comenzar desde la curva objetivo y subir para obtener el$j$-invariante de una curva elíptica por encima de ella. Para hacer esto, suponga una forma de Legendre$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ para una curva elíptica CM $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ está provisto ($\lambda$es un número algebraico). En otras palabras, suponga que tenemos$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$en nuestra base de datos. Considere la isogenia$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. Analizando posibles formas de Legendre para$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$, uno puede mostrar su $j$-invariante $j(2\tau)$ pertenece a $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ Entonces hay tres candidatos para $j(2\tau)$, cada uno en forma de un número algebraico explícito. Aproximando$j(2\tau)$ numéricamente a través del $q$-expansión, se puede elegir la expresión correcta para $j(2\tau)$entre ellos y agregarlo a la base de datos. Los detalles de este enfoque para la informática$j(2\tau)$ en términos de $j(\tau)$se puede encontrar en este documento . Existe un método análogo para$j(3\tau)$. Entonces, comenzando con, por ejemplo$j(i)=1728$, para dos enteros positivos cualesquiera $m$ y $n$, una expresión exacta para $j\left(2^m3^ni\right)$Puede ser obtenido. Por ejemplo$j(2i)=66^3$ y $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.