¿Existe una buena manera de escribir matemáticamente una operación CNOT sobre qubits no vecinos en un circuito? [duplicar]

Aug 19 2020

Me preguntaba si hay alguna forma de presentar la matriz CNOT, ya que generalmente presentamos operaciones de un solo qubit

$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$

Sé que para qubits adyacentes en un circuito podemos presentarlo de manera idéntica

$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$

Pero, ¿hay alguna manera de presentar la operación matemáticamente si hay varios CNOT actuando en cables no vecinos?

Respuestas

4 chrysaor4 Aug 18 2020 at 23:16

Si solo se refiere a la representación del circuito abstracto, puede reordenar su base de manera que todos los qubits que participan en CNOT se hagan "adyacentes" de acuerdo con su etiquetado. Por ejemplo, si la base se ordena como$1,2,3$, y desea realizar un CNOT entre los qubits 1 y 3, entonces simplemente escriba algo como

$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$

donde la base ahora está ordenada $1,3,2$. Pero si no desea reordenar la base, también hay otra forma de escribir el CNOT:

$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$

que podría incluir una identidad en el estado del segundo qubit como

$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$

Esto ya no es solo un producto de unitarios, lo que se espera ya que la acción del CNOT no debe factorizar en producto de operaciones.

1 DaftWullie Aug 18 2020 at 22:57

Personalmente, solo me defino con alguna notación. Por ejemplo, en lugar del NO que anotaste, defino$X_n$ ser - estar $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ Del mismo modo, podría definir $CNOT^i_j$ ser un control no controlado $i$ y focalización $j$. Si tuviera que escribirlo como productos tensoriales, probablemente haría algo como$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ asumiendo $j>i$.