¿Existe una función no constante? $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$tal que $f(x) = f(x + 1/x)$?

Question

Estoy buscando una función no constante$f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$tal que$f(x) = f(x + 1/x)$, o una prueba de que tal función no existe.

reemplazando$x$por$1/x$espectáculos que debemos tener$f(x) = f(1/x)$.

Lo que más me interesa es la (no) existencia de formas no constantes uniformes.$f$.

Answer 1

Debe haber infinitas soluciones continuas, una para cada función continua$g:[1,2]\to \mathbb{R}$con$g(1)=g(2)$. Después de imponer condiciones de frontera y diferenciabilidad apropiadas en$g$, podemos hacer que la función sea suave.

Dejar$x_1=1$y$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Luego$1\le x_n\le n$y por la divergencia de la serie armónica,$x_n\to\infty$como$n\to \infty$. Ya que$h:t\mapsto t+\frac{1}{t}$es estrictamente creciente en$[1,\infty)$, cada$x\in[1,\infty)$pertenece exactamente a uno$[x_{n+1},x_{n+2})$y$x=h^n(y)$para exactamente uno$y\in[1,2)$. Entonces definimos$f(x)=g(y)$. Usando la relación$f(x)=f(1/x)$, esto se extiende a$(0,\infty)$. Es continuo ya que es continuo en cada$[x_n,x_{n+1}]$y está de acuerdo en los puntos finales.