Explicación intuitiva por qué "operador sombra" $\frac D{e^D-1}$ conecta logaritmos con funciones trigonométricas?
Considere el operador $\frac D{e^D-1}$ que llamaremos "sombra":
$$\frac {D}{e^D-1}f(x)=\frac1{2 \pi }\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-iwx}\frac{-iw}{e^{-i w}-1}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{i t w} f(t) \, dt \, dw$$
Las integrales aquí deben entenderse como transformadas de Fourier.
Ahora, intuitivamente, ¿por qué lo siguiente?
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1\pi\ln \left(\frac{x+1/2 +\frac{z}{\pi }}{x+1/2 -\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\tan z$$
Hay otros ejemplos en los que shadow convierte funciones trigonométricas en trigonométricas inversas, logaritmos en exponentes, etc.
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1{\pi }\ln \left(\frac{x+1-\frac{z}{\pi }}{x+\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\cot z$$
Respuestas
Esta es básicamente una versión ligeramente transformada de la expansión de fracción parcial cotangente de Euler. $$ \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n}$$ (la derivada logarítmica de su famosa fórmula de producto seno $\frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$). Al telescopiar series, uno puede reescribir esto como$$ \pi \cot(\pi z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z-n-1} + \frac{1}{z+n}.$$ Según el teorema de Taylor, $e^{nD_x}$ es la operación de traducción por $n$, así que formalmente por series geométricas tenemos $$ \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} f\, \right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty \left.e^{nD_x} f\right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty f(n)$$ (que por cierto ayuda a explicar la fórmula de Euler-Maclaurin) y así $$ \pi \cot(\pi z) = \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} \left(\frac{1}{z-x-1} + \frac{1}{z+x}\right) \right|_{x=0}$$ o equivalente $$ \pi \cot(\pi z) = - \left.\frac{D_x}{1-e^{D_x}} \ln \frac{x+z}{x+1-z} \right|_{x=0}.$$ Esto le da sus identidades después de algunos reordenamientos simples (y reemplazando $z$ con cualquiera $z/\pi$ o $z/\pi + 1/2$).
La razón principal de la identidad de la fracción parcial de Euler es que los polos y residuos de la función cotangente se identifican y calculan fácilmente. La razón por la que se pueden colapsar en una expresión que involucra al operador de suma$\frac{1}{1-e^{D_x}}$es que estos polos y residuos disfrutan de una invariancia de traducción, que en última instancia proviene de la periodicidad de la función cotangente. Me imagino que hay identidades similares para Weierstrass$\wp$ función, que es doblemente periódica con un comportamiento de polos muy específico.
La operación $$T_x = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} = e^{b.D_x},$$
dónde $(b.)^n = b_n$son los números de Bernoulli, es (signos mod) a menudo denominado operador de Todd (tal vez originalmente le dio ese nombre a Hirzebruch, quien lo usó para construir su clase característica de Todd).
Tiene una propiedad de discretización (o derivación) que se puede expresar de las siguientes formas útiles
$$f(x) = T_x T_x^{-1} f(x) = \frac{D}{e^D-1} \frac{e^D-1}{D} f(x) = T_x \int_{x}^{x+1} f(t) dt$$
$$ = e^{b.D} \;\int_{x}^{x+1} f(t) dt = \int_{b.+x}^{b.+x+1} f(t) dt =\int_{B.(x)}^{B.(x)+1} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x)+1) - F(B.(x)) = F(B.(x+1)) - F(B.(x)) = D_x \; F(x),$$
dónde
$$B_n(x) = (b.+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \; b_n \; x^{n-k}$$
son los célebres polinomios de Appell Bernoulli, con el egf $e^{B.(x)t}= e^{(b.+x)t} = \frac{t}{e^t-1}e^{xt}$, y $F(x)$ es la integral / primitiva indefinida de $f(x)$. La última igualdad ilustra la propiedad derivada de los polinomios de Bernoulli y los define completamente.
Esto lleva a
$$\sum_{k=0}^n f(x+k) = T \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt $$
$$ = e^{b.D} \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x+n+1)) - F(B.(x)),$$
y, en particular, la cadena de relaciones
$$\sum_{k=0}^n (x+k)^s =T_x \; \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt $$
$$= e^{b.D} \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} t^s dt$$
$$ = T_x \; \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1} = e^{b.D} \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \frac{(B.(x+1+n))^{s+1} -(B.(x))^{s+1}}{s+1} = \frac{B_{s+1}(x+1+n) - B_{s+1}(x)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{B_{s+1}(x+1+k) - B_{s+1}(x+k)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{(B.(x+1+k))^{s+1} - (B.(x+k))^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n D_x \; \frac{(x+k)^{s+1}}{s+1}.$$
Si tomas el límite apropiadamente $s \to -1$, llega a una relación con el logaritmo natural de donde, junto con las expansiones en serie de las funciones trigonométricas en la respuesta de Terry Tao, puede extraer sus fórmulas particulares.
Para una aplicación ilustrativa más sofisticada de la fórmula de discretización, consulte Eqn. 1, "la fórmula de Khovanskii-Pukhlikov, la contraparte combinatoria de la fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch (HRR) para una variedad tórica suave X con un divisor D muy amplio ..." en la página 2 del "$T_y$- operador en integrales sobre politopos de celosía "por Goda, Kamimura y Ohmoto.
Tenga en cuenta también la secuencia inversa umbral a los polinomios de Bernoulli, los polinomios de potencia de Appell
$$\hat{B}_n(x) = \frac{(x+1)^{n+1}-x^{n+1}}{n+1},$$
con el .egf $\frac{e^t-1}{t}\; e^{xt}$, se define también por la inversión compositiva umbral
$$B_n(\hat{B}.(x)) = x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
entonces el
- propiedad derivada de los polinomios de Appell Bernoulli
$$ \frac{(B_.(x)+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \frac{(b.+x+1)^{n+1} - (b.+x)^{n+1}}{n+1}$$
$$ = \frac{B_{n+1}(x+1) - B_{n+1}(x)}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x)) = x^n = D \; \frac{x^{n+1}}{n+1},$$
- Relación recíproca de los egfs definitorios de los momentos del par inverso de secuencias polinomiales de Appell.
$$B(t) =e^{b.t}= \frac{t}{e^t-1},$$
$$\hat{B}(t) = e^{\hat{b}.t}=\frac{e^t-1}{t}, $$
- reciprocidad de las operaciones duales
$$T= B(D) = \frac{D}{e^D-1} = e^{b.D},$$
$$T^{-1}= \hat{B}(D) = \frac{e^D-1}{D} = e^{\hat{b}.D},$$
- Propiedades generadoras de polinomios duales de las operaciones.
$$T \; x^n = \frac{D}{e^D-1} \; x^n = e^{b.D} \; x^n = (b. + x)^n = B_n(x), $$
$$ T^{-1} \; x^n = \frac{e^D-1}{D} \; x^n = e^{\hat{b.}D} x^n = (\hat{b.}+x)^n = \hat{B}_n(x),$$
- Relación inversa composicional umbral de los conjuntos duales de polinomios
$$ B_n(\hat{B}.(x)) = T^{-1} \; T \; x^n = x^n = T \; T^{-1} \; x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
- y la propiedad discretizante del operador Todd
$$ x^n = T \; T^{-1} x^n = T \; \int_{x}^{x+1} t^n \; dt$$
$$ = T \frac{(x+1)^{n+1} - x^{n+1}}{n+1}$$
$$ =\frac{(B.(x)+1)^{n+1} -(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x))$$
están todos íntimamente (y productivamente) interconectados, son diferentes facetas de una dualidad de Appell, y pueden generalizarse a través de la transformada de Mellin.
Esta no es toda la historia: las relaciones son aún más profundas a través de un álgebra de Weyl, un conmutador de Graves / Lie / Pincherle y operaciones de escalera, pero esta perspectiva ya conduce a una exploración más fructífera. Por ejemplo, obtenemos arrancar en el límite como$n \to +\infty$ para la suma de discretización, una función zeta de Hurwitz modificada como la generalización (interpolación) de los polinomios de Bernoulli,
$$ B_{-s}(x) = s \; \zeta(s+1,x),$$
que hereda las propiedades de una secuencia de polinomios de Appell.
La ecuación 'sombra' es algo restrictiva ya que asume el FT de $f(x)$existe, lo cual no es una condición necesaria para que se aplique la propiedad de discretización; por ejemplo, observe la fórmula similar de Abel-Plana de la transformada de Laplace .
Con una normalización diferente para el FT,
$$FT(f(x)) = \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i 2\pi \omega x} f(x) \; dx,$$
y
$$f(b.+x) = e^{b.D_x} f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} FT^{-1}[\tilde{f}(\omega)]$$
$$ = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} FT[f(x)] \; d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} \frac{i 2\pi \omega}{e^{i 2\pi \omega}-1} FT[f(x)] \; d\omega. $$
Caracterizar la acción del operador de Todd utilizando más bien la interpolación de transformada de Mellin a la Ramanujan / Hardy, da una ruta constructiva alternativa a la función zeta de Hurwitz:
$$ B_{-s}(z) = (B.(z))^{-s} = (b.+z)^{-s} = e^{b.D_z} \; z^{-s}$$
$$ = e^{b.D_z} \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ = \int_{0}^{\infty} e^{-(b.+z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ =\int_{0}^{\infty} e^{-B.(z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt $$
$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{-t}{e^{-t}-1} \; e^{-zt} \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt = s \; \zeta(s+1,z).$$
Una expansión en serie para la función Appell Bernoulli para todos los reales o complejos. $s$ y real o complejo $z$ con $|z-1| < 1$ está dado por la expansión binomial umbral
$$s \; \zeta(s+1,z) = B_{-s}(z)$$
$$ = (b.+z)^{-s} = (b. + 1 - 1 + z)^{-s} = (B.(1)+z-1)^{-s}$$
$$ = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} B_{-s-n}(1) \; (z-1)^n = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} (s+n) \; \zeta(s+n+1) \; (z-1)^n$$
dónde
$$(b.+1)^{-s} = (B.(1))^{-s} = B_{-s}(1) = s \; \zeta(s+1,1) = s \; \zeta(s+1)$$
con $\zeta(s)$, la función zeta de Riemann.