Explicando las extensiones de campo
Dejar $K$ser un campo. He visto esta construcción en conferencias, pero me cuesta entenderla. Dejar$P(x) \in K[x]$, un polinomio irreducible, cuya "raíz" puede no existir en $K$ al que llamamos $\alpha$. Luego,$$ \frac{K[X]}{\langle P(X) \rangle} $$es un campo, y uno más grande con el que comenzamos. En primer lugar, ¿por qué es este un campo? Y en segundo lugar, la única construcción que conozco comienza con un elemento$\alpha$ en un campo más grande de $K$, y luego deriva el polinomio mínimo de $\alpha$. Pero en la construcción anterior partimos de un polinomio irreducible (que se supone que es el polinomio mínimo de$\alpha$ Supongo), y termina de alguna manera derivando un (a veces) inexistente (en $K$) elemento $\alpha$. ¿Hay alguna forma de explicar esto de forma clara y rigurosa? Simplemente me está costando entender estas construcciones.
(Una construcción que va "al revés" podría ser: Demuestre que$p(x)$ es irreductible en $F[x]$)
Respuestas
Hay un lema que dice que si $R$ es un anillo conmutativo y $\mathfrak m$ un ideal máximo en $R$, entonces $R/\mathfrak m$es un campo. Esto se sigue de la correspondencia entre ideales de$R$ conteniendo $\mathfrak m$ e ideales de $R/\mathfrak m$(están en biyección). Y los campos son exactamente los anillos conmutativos con dos ideales (los dos ideales triviales que contienen solo$0$, o todo el anillo). Esto se debe a que un ideal contiene una unidad si y solo si ya es idéntica a todo el anillo. Entonces, si el ideal cero y el anillo completo son los únicos ideales, entonces todos los elementos excepto$0$debe ser una unidad. Pero eso es lo que es un campo. Y también podemos señalar que si$\mathfrak m$ es máxima, entonces hay exactamente dos ideales en los que está contenido: $\mathfrak m$ sí mismo, y todo $R$. Por la correspondencia con los ideales de$R/\mathfrak m$, vemos eso $R/\mathfrak m$ tiene sólo dos ideales y, por tanto, es un campo.
Entonces en tu caso, tenemos $R=K[X]$ y $\mathfrak m=\langle P\rangle$. Si$\langle P\rangle$ es máximo, entonces $K[X]/\langle P\rangle$es un campo. Afortunadamente, este es el caso, ya que$K[X]$es euclidiana y, por tanto, un dominio ideal principal, en el que los ideales generados por un elemento irreductible son máximos. Entonces, el ideal en cuestión es de hecho máximo y, por lo tanto, el cociente correspondiente es un campo.
Ahora, un breve cálculo mostrará que podemos incrustar $K$ en este campo, llamémoslo $L$y así podemos ver $P$ como polinomio en $L[X]$, y con algunos cálculos podemos ver que la clase de equivalencia de $X$es una raíz del polinomio incrustado. Entonces obtenemos un campo que contiene el original (en el sentido de que hay una incrustación natural), así como una raíz del polinomio dado (nuevamente en el sentido de que es una raíz del polinomio incrustado).
Digamos que desea "agregar" una raíz de algún polinomio $P(T)$ a un anillo (conmutativo) $A$ (dónde $P$ tiene coeficientes en $A$). Primero, necesitas agregar un elemento$X$. Luego desea agregar todas las cosas que puede formar con él tomando sumas y productos consigo mismo y elementos de$A$. Esta es exactamente la idea detrás de la construcción del anillo.$A[X]$de polinomios. Ahora no desea agregar ningún elemento, pero desea una raíz de$P$. Es decir,$X$ necesita satisfacer la relación $P(X) = 0$. Bueno, solo tienes que imponer esta relación. Y como todavía quieres un anillo, esto significa tomar el cociente por el ideal$(P(X))$ generado por $P(X)$. La imagen$\bar X$ de $X$ en el cociente $A[X]/(P(X))$ (que es un anillo que contiene $A$) es una raíz de $P$. En efecto,$P(\bar X)$ es la imagen de $P(X)$ por el morfismo del anillo $A[X] \twoheadrightarrow A[X]/(P(X))$, que es cero por definición del cociente.
Bien, ahora hablemos de campos. El problema en mi construcción es que incluso si$A$ es un campo, $A[X]$en general no es un campo. Esto se debe al hecho de que si$P$ es el producto de dos polinomios no constantes, digamos $P = QR$, luego en $A[X]/(P(X))$, tenemos $Q(\bar X)R(\bar X) = P(\bar X) = 0$. Pero$Q$ y $R$ no son divisibles por $P$, por lo que no están en el ideal $(P)$, lo que significa que ellos tampoco $Q(\bar X)$ ni $R(\bar X)$ son iguales a $0$ en $A[X]/(P(X))$: son divisores cero. Así que si quieres$A[X]/(P(X))$ para ser un campo, necesitas $A$ para ser un campo, pero también necesitas $P$ser irreductible. Y estas condiciones son suficientes para el cociente$A[X]/(P(X))$ ser un campo: si $P$ es irreducible, entonces para cualquier $Q$ no divisible por $P$ (es decir, $Q(\bar X)$ es un elemento distinto de cero en el cociente), puede encontrar una relación de Bézout $UP + VQ = 1$, cuya imagen en el cociente es $U(\bar X)Q(\bar X) = 1$ (es decir, $Q(\bar X)$ es invertible en el cociente).
Si $\bar{Q}$ es una clase distinta de cero de $K[X]/(P)$, entonces $P$ no divide $Q$. Ya que$P$ es irreductible, $P$ y $Q$ son coprime por lo que existen polinomios $U,V$ tal que $UQ+VP=1$. Entonces$\bar{U} \ \bar{Q}=\bar{1}$, por lo tanto $\bar{Q}$ es invertible, entonces $K[X]/(P)$ es un campo.
Escribir $P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$. Ajuste$\alpha=\bar{X}$ y usando las leyes sobre los rendimientos del cociente $\alpha^n+\bar{a}_{n-1}\alpha^{n-1}+\bar{a}_0=\overline{P(X)}=\bar{0}$, entonces $\alpha$ es una raíz de $T^n+\bar{a}_{n-1}T^{n-1}+\cdots+\bar{a}_0\in (K[X]/(P))[T]$
Ya que $\iota: K\to K[X]/(P)$ es inyectable, podemos identificar abusivamente $K$ con su imagen en el cociente, y puedes considerar que $K$ está contenido en $K[X]/(P)$, y eso $\alpha$ es una raíz de $P$.
Si no quieres hacer eso, necesitas realizar un conocido truco de teoría de conjuntos: set $L=K\cup (K[X]/(P)\setminus \iota(K)$, y tenga en cuenta que la unión es inconexa. Definir un mapa biyectivo$f: L\to K[X]/(P)$ cual es la identidad en $K[X]/(P)\setminus\iota(K)$ y que mapas $\lambda\in K$ a $\iota(\lambda)=\bar{\lambda}.$ Luego defina leyes sobre $L$ utilizando $f$: para todos $x,y\in L$, establecer $x+_L y=f^{-1}(f(x)+f(y))$ y $x\cdot _L y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y))$. Entonces$L$ es un campo (tedioso pero fácil) que contiene $K$y $\alpha\in L$ es una raíz de $P\in K[X]$(de verdad, esta vez). No debería ser complicado comprobar que$L=K(\alpha)$.
Tenga en cuenta que, por definición de las leyes sobre $L$ , $f$ es un isomorfismo, entonces $K(\alpha)=L\simeq K[X]/(P)$.
Por el contrario, si $\alpha$ es un elemento de un cierre algebraico de $K$y $P$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ encima $K$, evaluación $K[X]\to L$ a $\alpha$ induce un isomorfismo $K[X]/(P)\simeq K(\alpha)$ a través del primer teorema del isomorfismo.
Dejar $\beta$ ser un elemento distinto de cero de $L=K[x]/(P(x))$. Entonces$\beta=f(x)+(P(x))$ para algunos $f(x)$ en $K[x]$, relativamente primo para $P(x)$. Ya que$f(x)$ es relativamente primordial para $P(x)$, hay polinomios $g(x)$ y $h(x)$ en $K[x]$ tal que $f(x)g(x)+P(x)h(x)=1$. En$L$, esta ecuación es $(f(x)+(P(x)))(g(x)+(P(x)))=1+(P(x))$, entonces $\beta=f(x)+(P(x))$ es invertible, entonces $L$ es un campo.
Ahora define $\alpha$ en $L$ por $\alpha=x+(P(x))$. Entonces$P(\alpha)=P(x+(P(x)))=P(x)+(P(x))=0$ en $L$, entonces $\alpha$ es un cero de $P(x)$ en $L$.
En primer lugar, ya que $P(X)$ es irreductible, el ideal que genera es máximo en $K[X]$ (¿sabes algo sobre teoría ideal?), por lo tanto $L:=K[X]/\langle P(X)\rangle$ es un campo (ver, por ejemplo, esto: https://proofwiki.org/wiki/Maximal_Ideal_iff_Quotient_Ring_is_Field). Ahora llama$\alpha$ la clase de $X$ en el cociente $K[X]/\langle P(X)\rangle$. Afirmamos que$\alpha$ es una raíz de $P(X)$ en el campo $L$. Este es en realidad un cálculo fácil, del cual derivamos que$P(\alpha)=0$ en $L$. Hemos construido un campo$L$ que contiene una raíz de $P(X)$. Podemos decir más: tenemos mapas$$K\to K[X]\to K[X]/\langle P(X)\rangle=L\to K(\alpha),$$ donde la composicion $$K\to L$$ es inyectivo (ya que es un homomorfismo de campo distinto de cero) y el último mapa $$L\to K(\alpha),$$ que obtenemos de la valoración natural en$\alpha$ mapa $K[X]\to K(\alpha)$ es un isomorfismo.