Extensión de estados

Question

Dejar$X$ser un espacio de Hausdorff localmente compacto y$Y$es un subespacio compacto de$X$. Dejar$\phi$ser un estado en$C(Y)$. Entonces podemos extendernos a$\phi$a$C_0(X)$? Supongamos que si$T:f \mapsto f|_X$es el homomorfismo de$C_0(X)$a$C(Y)$, entonces el mapa$\tilde{\phi}=\phi\circ T$ser un estado en$C_0(X)$?

Answer 1

Bien, entonces creo que esto es cierto. Según mi comentario, solo falta verificar que este funcional tenga la norma 1. La positividad es a su vez equivalente a$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = \|\tilde{\phi}\|$para alguna (o cualquier) unidad aproximada$(e_\lambda)$por$C_0(X)$. Entonces, para resolver esto, encontremos una unidad aproximada$(e_\lambda)$que satisface$\lim_\lambda \tilde{\phi}(e_\lambda) = 1$.

Al igual que en el artículo de wikipedia para C*-álgebras (https://en.wikipedia.org/wiki/C*-algebra#Commutative_C*-algebras), hay una unidad aproximada$(f_K)$, indexado por subconjuntos compactos$K \subseteq X$para cual$f_K|K = 1$(extensión Tietze/enlace en los comentarios). Con esta idea en mente, no es difícil construir una red$(f_K)$, indexado por subconjuntos compactos$K \subseteq X$que contienen$Y$, tal que$f_K|_K = 1$. Esta es nuestra unidad aproximada deseada:$$ \lim_K \tilde{\phi}(f_K) = \lim_K \phi \circ T(f_K) = \lim_K \phi(f_K|_Y) = \lim_K 1 = 1. $$