$f$ es continuo iff $G(f)$ es un conjunto cerrado en espacios métricos [duplicado]

Question

La gráfica de $f$ es $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ y $Y$ son espacios métricos. $Y$ es compacto.

$f$ es continuo iff $G(f)$ es un conjunto cerrado.

Obtuve la respuesta más cercana aquí, pero primero la probé solo y me quedé atascado en un punto y necesito ayuda en esa situación particular que no obtuve en ningún otro lugar /

$\Rightarrow$ parte: Deja $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ ser una secuencia convergente de $G(f)$. Si$(x,y)$es su límite. Tenemos que demostrar que$y=f(x)$ en otras palabras $(x,y)\in G_f$.

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[Por continuidad de $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$por la unicidad del límite. Por lo tanto$G_f$ está cerrado.

$\Leftarrow$ parte: Deja $x\in X$ y $(x_n)$ una secuencia convergente con límite $x$. Tienes que demostrar eso$(f(x_n))$ es convergente en $Y$ con limite $f(x)$. He usado la secuencia$z_n=(x_n,f(x_n))$ y $G_f$ está cerrado en el espacio compacto $Y$ y por lo tanto $G_f$es compacto. Entonces hay subsecuencia$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. Entonces tendremos$y=f(x)$ pero como pruebo eso $f(x_n) \to f(x)$? Es cierto que cada subsecuencia de$f(x_n)$ tiene una subsecuencia que converge a $f(x)$.

Answer 1

Del comentario obtuve mi respuesta que proviene de este lema:

Lemma Let$Y$ ser un espacio métrico compacto y $(y_n)$ una secuencia cuyos términos pertenecen a $Y$. Si cada subsecuencia convergente de$(y_n)$converge al mismo límite$\ell\in Y$, entonces $(y_n)$ converge a $\ell$.

Prueba Supongamos lo contrario. Entonces, existe$\epsilon>0$, tal que:

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

Esto nos permite construir una subsecuencia $(y_{n_k})$ tal que:

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

Ahora extraiga de $(y_{n_k})$ una subsecuencia convergente: su límite $\ell$ de la hipótesis y por lo tanto obtenemos $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...

¡Una contradicción!

Ahora alguien puede cerrar esta respuesta, pero puedo mantenerla en mi registro y si alguien procederá de esta manera. Recibirán ayuda de eso. Hice la pregunta porque estaba comprobando una de las formas obvias que pueden venir a nuestra mente. ¡Muchas gracias!