Familia de funciones con $f(0) = 0$ y $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ es normal
Tengo la siguiente pregunta
Dejar $B$ ser el conjunto de funciones $f$, que son analíticos en el disco de la unidad $\mathbb{D}$ y satisfacer a ambos $f(0) = 0$ y $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Pruebalo$B$ es una familia normal.
Hay un par de partes de mi respuesta de las que no estoy seguro.
Considere la familia traducida $g(z) = f(z) - 1$ que toma valores en $\mathbb{C} - [0,1]$. Ya que$g(\mathbb{D})$ está simplemente conectado y distinto de cero, podemos definir ramas analíticas de un solo valor $\sqrt{g(z)}$ en $g(\mathbb{D})$. Una vez que sacamos una raíz cuadrada, todos los valores de$\sqrt{g(z)}$están contenidos en un semiplano donde la línea que separa los semiplanos contiene el origen. Entonces, después de una posible rotación, podemos suponer que$\sqrt{g(\mathbb{D}})$está contenido en el semiplano izquierdo. Ahora, puedo aplicar técnicas utilizadas en esta respuesta.$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ con $Re f>0$ y $f(0)=1$es una familia normal para mostrar que la familia traducida (de ahí$B$) es una familia normal.
Una cosa de la que no estoy seguro es si puedo decir que todos los valores de $\sqrt{g(z)}$están contenidos en un semiplano donde la línea que separa los semiplanos contiene el origen. Esto parece cierto, pero no estoy seguro. Además, no estoy usando toda la fuerza del hecho$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ como realmente necesito solo $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Cualquier comentario o sugerencia sería muy apreciada.
Respuestas
Su idea no funciona del todo y que no utilizó la suposición de que un intervalo no degenerado se dejó fuera del rango debería servir como una señal de advertencia (pero, por supuesto, no es en sí mismo una prueba de que el argumento no puede funcionar ).
Para ver eso $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ no implica normalidad de la familia considerar las funciones $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ para $k \in \mathbb{N}$. Tenemos$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ para todos $k$y $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Pero$f_k(z)$ converge localmente de manera uniforme para $\infty$ en el semiplano derecho, y converge localmente de manera uniforme para $1$en el semiplano izquierdo. La secuencia no converge localmente de manera uniforme en ningún punto del eje imaginario.
El primer error en su argumento es la afirmación de que $g(\mathbb{D})$está simplemente conectado. No tiene por qué serlo, considere por ejemplo$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ dónde $g(\mathbb{D})$ es el complemento (en el plano) de un pequeño disco alrededor $0$. La simple conectividad de$\mathbb{D}$ garantiza la existencia de una raíz cuadrada holomorfa $\sqrt{g(z)}$, pero la imagen de eso todavía puede ser toda $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Pero la idea básica de usar la raíz cuadrada para obtener una familia de funciones holomórficas con imagen contenida en un semiplano funciona, solo debe hacerse de manera un poco diferente.
Considere la transformación de Möbius $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ Esto mapea el intervalo cerrado $[1,2]$ a $[-\infty, 0]$y $T(0) = 1$.
Usando esto, podemos considerar la familia $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ donde se usa la rama principal de la raíz cuadrada.
Ahora, $\tilde{B}$es solo la familia considerada en la pregunta vinculada, por lo tanto, sabemos que es una familia normal. Entonces queda deducir la normalidad de$B$a partir de ese. (Si$(h_k)$ es una secuencia localmente uniformemente convergente, entonces $(F\circ h_k)$ también es localmente uniformemente convergente en condiciones suaves en $F$.)