Función armónica y conjugada armónica

Question

Dejar $u:G\subset\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una función armónica $v:G\rightarrow \mathbb{R}$ la función conjugada armónica, con $G$un dominio. Pruebalo$u^2-v^2$ y $uv$ son armónicos sin derivadas.

Antes de esto, probé que $u^2$ es armónico, si $u$es una función armónica. Entonces, pensé que$u^2$ y $v^2$ son funciones armónicas, y quería concluir que $u^2-v^2$ es una función armónica.

No obstante, esta interpretación es incorrecta.

Gracias por adelantado

Answer 1

Ya que $v$ es un conjugado armónico de $u$, esto significa que la función $f=u+iv$ es holomórfico en el dominio $G$especificado. Sin embargo, es fácil demostrar que si$f$ es holomórfico, entonces $f^2$es holomórfica y según las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es real y su parte imaginaria son funciones armónicas. Expandir muestra que

$$f^2=(u+iv)^2=u^2-v^2+i(2uv)\equiv \Re f+ i \Im f$$

y por tanto las funciones $\Re f=u^2-v^2$ y $\Im f=2uv$ y son armónicos (obviamente si $2uv$ es armónico entonces también $uv$ es).

Answer 2

Si $v$ es el conjugado armónico de $u$, luego

$f(z) = u(z) + iv(z) \tag 1$

es holomórfico; así es así$(f(z))^2$; ahora,

$(f(z))^2 = (u(z) + iv(z))^2 = u^2(z) - v^2(z) + 2iu(z)v(z); \tag 2$

ya que $u^2 - v^2$ y $2uv$ son las partes reales e imaginarias de $f^2(z)$, son armónicos; $2uv$ armónico implica que $uv$ es.

Nota Bene: si$u$ es armónico, entonces $u^2$ es armónico solo si y solo si $\nabla u = 0$, porque tenemos

$\nabla u^2 = \nabla \cdot (\nabla u^2) = \nabla \cdot (2u\nabla u)$ $= 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u\nabla \cdot \nabla u = 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u\nabla^2 u = 2\nabla u \cdot \nabla u, \tag 3$

ya que

$\nabla^2 u = 0; \tag 4$

nos quedamos con

$\nabla u^2 = 2\nabla u \cdot \nabla u; \tag 5$

así para armónico $u$, $u^2$ armónico es equivalente a

$\nabla u = 0, \tag 6$

es decir, $u$ es constante en los componentes conectados de $G$.

En este argumento, he utilizado la conocida identidad

$\nabla \cdot (u \nabla u) = \nabla u \cdot \nabla u + u \nabla \cdot \nabla u, \tag 7$

que se encuentra en muchas fuentes en el operador de gradiente $\nabla$e identidades de cálculo vectorial; el lector mi visita wikipedia o simplemente busca más en google. Fin de la nota.