Función de generación de momento aplicada en $2t$

Question

Tengo algunos problemas con este problema, adaptado de Grimmet & Welsh:

Si $X + Y$ y $X - Y$ son independientes, demuestren que \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} dónde $X,Y$ son rv independientes con media $0$, varianza $1$ y $M(t)$ finito.

¿Cómo probarlo? Hace$X$ y $Y$necesita tener una distribución normal? ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencias:

• $M(2t) = E[e^{2tX}]$
• $M(t) = E[e^{tX}] = E[e^{tY}]$
• $M(-t) = E[e^{-tY}]$
• $2X = (X+Y) + (X-Y)$
• Si $U$ y $V$ son variables aleatorias independientes, entonces $E[f(U)g(V)] = E[f(U)] E[g(V)]$.