Funcionalmente, ¿qué dice una matriz simétrica sobre la transformación lineal que representa?

Dec 24 2020

Entiendo la definición de una matriz simétrica en términos de cómo se relacionan sus componentes. Pero, funcionalmente, ¿qué implica sobre la transformación lineal que representa? Por ejemplo, las matrices de bloques tri-diagonales tienen relaciones especiales entre entradas pero también, funcionalmente, nos dicen que algún subespacio vectorial no trivial es invariante bajo la transformación lineal con respecto a una base particular. Por cierto, ¿qué representan funcionalmente las matrices simétricas sesgadas?

Respuestas

BenGrossmann Dec 24 2020 at 23:21

En los comentarios (y en la discusión vinculada) sobre la pregunta, hago la siguiente afirmación:

$M$ es simétrico en relación con al menos una elección de base (posiblemente oblicua) si y solo si $M$ es diagonalizable con valores propios reales. $M$ es asimétrica en relación con al menos una elección de base si y solo si $M$ es una suma directa de escalado $90^\circ $ rotaciones y transformaciones cero.

Primero, el caso simétrico. Si$M$ es simétrico, entonces el teorema espectral establece que $M$es diagonalizable con valores propios reales. Por el contrario, si$M$ es diagonalizable con valores propios reales, entonces hay una base relativa a la cual la matriz de $M$es diagonal con entradas reales en diagonal. Dado que esta matriz diagonal es simétrica,$M$ es simétrico con respecto a esta elección de base.

Para el caso donde $M$es simétrico sesgado, hay dos enfoques comunes. Para la dirección fácil: si$M$ es una suma directa de $90^\circ$ rotaciones y transformaciones cero, entonces hay una base relativa a la cual la matriz de $M$ es la matriz de diagonal simétrica en bloque $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$Hay dos enfoques para lo contrario. Uno es esencialmente aplicar el teorema espectral para matrices hermitianas , notando que si$M$ es asimétrica entonces la matriz compleja $iM$es hermitiano. Alternativamente, podemos construir sistemáticamente una base relativa a la cual la matriz de$M$tiene la forma diagonal de bloque anterior como se describe en esta publicación y la prueba vinculada allí.