Funciones analíticas p-ádicas que toman un valor algebraico

Aug 18 2020

Supongamos que existe$r\in\mathbb R$tal que la función p-ádica no constante$f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$($a_n\in\mathbb C_p$) se define en$\mathcal D=\{z\in\mathbb C_p\mid v_p(z)>r\}$. Existe$\alpha\in\overline{\mathbb Q}\cap f(\mathcal D)$? Si la respuesta es sí, ¿existe?$\alpha\in{\overline{\mathbb Q}}\cap f(\mathcal D\cap\mathbb Q_p)$?

Respuestas

2 WillSawin Aug 18 2020 at 09:07

Por lo primero si. Sin pérdida de generalidad por desplazamiento, podemos suponer$a_1 \neq 0$.

Para$\alpha\in \mathbb Q$, dejar$x_0=0$y$x_{n+1} = x_n + \frac{\alpha-f(x)}{a_1}$. para comprobar eso$x_n$converge como$n$va al infinito a una raíz de$\alpha-f(x)$, basta comprobar que$v_p ( \alpha - f(x_{n+1})) \geq v_p ( \alpha - f(x_n)) + 1$.

Para ello basta con tener$v_p(x_n) \geq s$y$v_p( x_{n+1}- x_n) \geq s$para algunos$s \in \mathbb R$tal que$v_p (a_n)+n s> v_p (a_1) + s + 1$para todos$n > 1$, como entonces las contribuciones de$a_2$y superior a$\alpha - f(x_{n+1})$estará dominado por la contribución de$a_1$.

Esto es fácil de asegurar eligiendo primero tal$s < \frac{ v_p (a_n) - v_p(a_1) - 1}{ n-1}$para todos$n>1$(comprobando que esta serie esté acotada por debajo) y luego eligiendo$alpha$tal que$v_p ( \alpha- a_0) > a_1 + s$, de modo que$v_p(x_1-x_0)>s$y así inductivamente$v_p(x_{n+1} -x_n) >s$para todos$n$.

Para el segundo, no. Sólo toma$f(z) = z + b$dónde$b\notin \mathbb Q_p + \overline{\mathbb Q}$. Ya que$\mathbb C_p/\mathbb Q_p$es incontable, tal$b$existe