Funciones generadoras de momento de dos variables aleatorias
Dejar $X$ y $Y$ Ser variable aleatoria independiente con función de generación de momento respectiva.
$M_x(t) = \frac{(8+e^t)^2}{81} $ y $M_y(t) = \frac{(1+3e^t)^3}{64} , -\infty<t<\infty $
Luego $ P(X+Y = 1) $es igual a
Sé que usando la función generadora de momentos podemos encontrar probabilidad
$M_x(t) = P(X=0)e^{t*0} + P(X=1)e^{t*1}.....P(X=n)e^{t*n}$
Comparando este mgf podemos obtener la probabilidad particular. Pero, ¿cómo hacemos esta pregunta?
Respuestas
Insinuación: $X$ y $Y$son variables aleatorias con valores enteros no negativos. Por lo tanto$$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)$$ $$=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).$$ Ahora nota que $M_X(t)=\frac {64+16e^{t}+e^{2t}} {81}$. Ya que$Ee^{tX}=\sum e^{nt}P(X=n)$ vemos eso $P(X=0)$ y $P(X=1)$ son los coeficientes de $e^{0t}$ y $e^{t}$. ¿Puedes terminar?
Es bien sabido que si $X\sim Bin(n,p)$ luego $MGF_X(t)=(1-p+pe^t)^n$. Así$X\sim Bin(2,\tfrac{1}{9})$ y $Y\sim Bin(3, \tfrac{3}{4})$. De aquí,$\Pr(X+Y=1)=\Pr(X=0,Y=1)+\Pr(X=1,Y=0)$ y queda sustituir todos los números en la fórmula para la distribución binomial.