$G$es un punto dentro del triangulo$ABC$tal que$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, dónde$[XYZ]$es el área de$XYZ$. Muestra esa$G$es el centroide de$ABC$.
Dejar$G$ser un punto dentro del triangulo$ABC$tal que$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, dónde$[XYZ]$es el area de un triangulo$XYZ$. Muestra esa$G$es el baricentro del triangulo$ABC$.
Mi intento : desde que$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, entonces tenemos$CG$,$AB$y$GB$, son los$3$medianas, por lo que$G$es centroide de$ABC$.
No estoy seguro de eso.
Respuestas
Dejar$CG\cap AB=\{C_1\}$,$BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$,
$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$,$S_{\Delta GBA_1}=a_2$y$S_{\Delta GCA_1}=a_1.$
De este modo,$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$lo que da$$a_1=a_2$$y desde aquí$A_1$es un punto medio de$BC$.
¿Puedes terminarlo ahora?
No realmente, a menos que el triángulo$ABC$es equilátero.
Pero esto sugiere una línea de razonamiento si puede usar transformaciones afines. Tenemos los siguientes hechos:
Bajo una transformación afín, la relación entre dos áreas es constante.
Si$(ABC)$y$(A'B'C')$son dos triángulos no degenerados, entonces existe una transformación afín que mapea uno sobre el otro.
En consecuencia, para resolver el problema en general es suficiente resolverlo para un triángulo equilátero. Y ahí lo tienes.
Hay una prueba fácil si conoces las coordenadas baricéntricas .
Dicho brevemente, coordenadas baricéntricas de un punto$M$interior de un triangulo$ABC$es el sistema$(w_A,w_B,w_C)$de$3$números (llamados "pesos") para ser colocados en los vértices$A,B,C$para obtener un centro de masa en$M$.
Hay una manera fácil de encontrar estos pesos (la llamada interpretación areal de las coordenadas baricéntricas):
$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$(https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates),
Observación: Por su definición, las coordenadas baricéntricas son únicas, hasta un multiplicador; el multiplicador más habitual es$1/[ABC]$: en este caso, las llamamos coordenadas baricéntricas normalizadas y su suma es$1$.
Si todas las áreas$[GBC]=[GCA]=[GAB]$son iguales, las coordenadas baricéntricas normalizadas son$(1/3,1/3,1/3)$: reconocemos las del centroide ; esto permite concluir debido a la unicidad de las coordenadas baricéntricas.
Observación: las coordenadas baricéntricas tienen sentido incluso cuando$M$es exterior al triangulo$ABC$: solo considere en (1) que las áreas son áreas orientadas; por ejemplo$[MBC]$se toma como positivo si va de$M$a$B$, luego a$C$, se gira con la orientación directa, de lo contrario$[MBC]$se toma con signo negativo.