Gavilla de una subprefachada

Question

Dejar $\mathscr{F}$ ser un subprefacto de un haz $\mathscr{H}$. Si entendí correctamente, en este caso la gavillada tiene una forma particularmente simple. Es la gavilla definida por$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ donde decimos eso $s\in \mathscr{H}(U)$ localmente se encuentra en $\mathscr{F}$ hay una tapa abierta $\{U_i\}$ de $U$ tal que $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ para cada $i$.

Está claro que se trata de una gavilla, pero no veo cómo satisface la propiedad universal de la gavilla.

Pensé en hacerlo de la siguiente manera: Realmente creo que esta construcción es funcional en $\mathscr{F}$. Suponiendo que, dado un morfismo$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ deberíamos tener un morfismo inducido $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ que coincide con nuestro morfismo original al restringir a $\mathscr{F}$. Si$\mathscr{G}$ es una gavilla, $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$y así esto produce nuestro morfismo deseado. Pero realmente no puedo ver por qué esta construcción es funcional en$\mathscr{F}$.

Answer 1

Dada una gavilla $\mathscr{G}$ y un morfismo de antesala $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$, puedes construir directamente un morfismo de pre-ondas (y por lo tanto de sheavs) $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ que se extiende $f$. Dada una sección$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$, elige cualquier tapa abierta $\{U_i\}$ de $U$ tal que las restricciones $s\mid_{U_i}$ quedarse en cama $\mathscr{F}$. Entonces puedes aplicar$f$ a cada una de estas restricciones y pegue sus imágenes para obtener $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. No es difícil comprobar que está bien definido, es decir, independiente de la tapa abierta, y que de hecho$\widetilde{f}$ es la extensión única de $f$. Este último muestra que$\widetilde{\mathscr{F}}$ es una gavilla.

En cuanto a la functorialidad que menciona, ya que su definición requiere la elección de una gavilla $\mathscr{H}$No estoy seguro de cómo darle sentido a esto (por supuesto, usted sabe después del hecho de que la sheafificación es funcional por la propiedad universal).

Answer 2

Estoy asumiendo $\mathscr H$ es un haz de grupos abelianos en un espacio topológico $X$.
Ya que$\mathscr H$ es una gavilla, por la propiedad universal de gavilla, el morfismo de las pre-gavillas $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ factores a través de $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. Para ver eso$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$es un isomorfismo, basta con comprobarlo a nivel de tallos.
Observe que a nivel de tallos, tenemos para$x\in X$, el espacio base, la composición $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$que es identidad. Además,$j_x$es un isomorfismo. Esto proviene de la construcción misma de la gavilla. Así$\bar \iota_x$ es un isomorfismo para cada $x\in X$ y por lo tanto $\bar \iota $ es un isomorfismo.

Nota: La construcción estándar de$\mathscr F^{sh}$ es considerar $\mathscr F$ como una sub-gavilla de tallos $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ y luego mira $\tilde {\mathscr F}$ en esta gavilla.