Generación normal del kernel de una sobreyección de grupos libres
Suponer que $\phi : F_n \to F_m$ es un homomorfismo sobreyectivo entre grupos libres de rango $n$ y $m$, respectivamente. ¿El kernel se genera normalmente de forma finita? Si es así, ¿podemos decir algo sobre el número de generadores normales que se necesitan en términos de$n$ y $m$?
Respuestas
La respuesta es sí, y $n$es un límite superior en el número requerido de generadores normales. No sé si hay un límite mejor (como$n-m$ quizás)?
Dejar $x_i$ ($1 \le i \le n$) y $y_j$ $(1 \le j \le m)$ ser generadores libres de $F_n$ y $F_m$y elige elementos $g_j \in F_n$ con $f(g_j) = y_j$ para $1 \le j \le m$.
Ahora para cada $x_i$, podemos escribir $f(x_i)$ como una palabra $w_i(y_j)$ en $y_j^{\pm 1}$y $z_i := x_i^{-1} w_i(g_j) \in \ker f$ para $1 \le i \le n$.
Yo reclamo que $\ker f$ normalmente es generado por $\{ z_i : 1 \le i \le n \}$. Dejar$N = \langle z_i \rangle^{F_n}$, entonces $N \le K$, y queremos demostrar la igualdad.
Ahora, dado que cualquier palabra en el $x_i$ se puede reescribir modulo $N$ como una palabra en el $w_i(g_j)$, vemos eso $F/N$ es generado por los elementos $w_i(g_j)$, y por tanto también por $\{ g_j : 1 \le j \le m \}$. Entonces$F/N$ es isomorfo a un cociente de $F_m$y, dado que se sabe que los grupos libres de rango finito son hopfianos (ver aquí por ejemplo), tenemos$K=N$ como se afirma.
Permítanme desarrollar la respuesta de Derek Holt, proporcionando algún tipo de generalización, donde vemos exactamente cómo aparece el límite. La declaración general que propongo es la siguiente:
Dejar $p: G \twoheadrightarrow K$ ser un epimorfismo dividido entre grupos, $s: K \hookrightarrow G$ ser una sección de $p$y $H$ ser el núcleo de $p$. Si$(x_i)_{i \in I}$ es una familia generadora de $G$, luego la familia $(x_i \cdot sp(x_i)^{-1})_{i \in I}$ normalmente genera $H$.
Aquí hay una prueba: vamos $N$ ser el subgrupo de $G$ normalmente generado por el $x_i \cdot sp(x_i)^{-1}$. Estos son elementos de$H$, por lo tanto $N \subseteq H$. Así$p$ factores a través del cociente $\pi : G \twoheadrightarrow G/N$ : hay un único $\bar p : G/N \rightarrow K$ tal que $\bar p \pi = p$. Ahora,$\pi s$ es una sección de $\bar p$, ya que $\bar p \pi s = ps = id_K$. Esto implica que$\pi s$es inyectable. Además,$\pi s$ es sobreyectiva, por definición de $N$. En efecto,$G/N$ es generado por el $\pi(x_i)$y $\pi(x_i) = \pi(sp(x_i)) = \pi s(p(x_i))$ : la imagen de $\pi s$ contiene la $\pi(x_i)$, de donde todo $G/N$. Así,$\pi s$ es un isomorfismo, cuyo mapeo inverso es $\bar p$. Como consecuencia,$1 = \ker(\bar p) = H/N$, Lo que significa que $H = N$, y se prueba la declaración.
Para ver que la respuesta que busca es un caso particular de esto, debe comentar que una sobreyección a un grupo libre siempre se divide: cualquier elección de ascensores de generadores ($y_j \mapsto g_j$en la respuesta de Derek Holt) se extiende a una sección de su epimorfismo. Entonces la$w_i(g_j)$ en la respuesta de Derek Holt son exactamente mis $sp(x_i)$, y verá que nuestras respuestas son las mismas en este caso.
Y por el aspecto de mi respuesta, supongo que el mejor límite es de hecho $n$, incluso en el caso de los grupos libres (pero no tengo un buen ejemplo a la mano, necesito pensar en eso).