Generalización de campos a más de dos operaciones: ¿Son equivalentes estas definiciones?
Vea la pregunta anterior ¿ Puede un "campo generalizado" con tres operaciones ser infinito?
Tenemos un set $S$y $n$ operaciones $\times_0,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$ en $S$. Cada operación$\times_k$ es conmutativo, es asociativo, tiene una identidad $e_k\in S$, y distribuye sobre la operación anterior $\times_{k-1}$. Además, las identidades son todas distintas. Denotar$S_k=S\setminus\{e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{k-1}\}$ (entendiendo que $S_0=S$, etc.). Toda la estructura se llama$n$-campo si tiene otras propiedades.
Dadas las propiedades anteriores, ¿son (algunas combinaciones de) las siguientes propiedades adicionales equivalentes?
$(1)$ Cada $\times_k$ es invertible en el sentido de que, para cualquier $a\in S_k$, existe $b\in S$ tal que $a\times_kb=e_k$.
$(2)$ Cada $\times_k$ es invertible en el sentido de que, para cualquier $a\in S_k$, existe $b\in S_k$ tal que $a\times_kb=e_k$.
$(3)$Cada identidad es nula con respecto a las operaciones superiores; para cualquier$k<l$ y cualquier $a\in S_k$, $e_k\times_la=e_k$.
$(4)$ Recursivamente, ambas estructuras $(S_0,\times_0,\times_1,\cdots,\times_{n-2},e_0,e_1,\cdots,e_{n-2})$ y $(S_1,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1},e_1,e_2,\cdots,e_{n-1})$ son $(n-1)$-campos. (Y un$1$-field es un grupo abeliano.)
$(5)$ Todas $(n-1)$ de las estructuras $(S_k,\times_k,\times_{k+1},e_k,e_{k+1})$son campos. (O si$n=1$ la estructura es un grupo abeliano.)
Claramente $(2)$ implica $(1)$y $(1)$ y $(3)$ juntos implican $(2)$. Idealmente, quiero$(1)$ solo para implicar a todos los demás.
Probar $(4)$ para la segunda estructura (la primera es fácil), solo tendríamos que mostrar que $S_1$ está cerrado bajo $\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$; eso es, si$a\neq e_0\neq b$, luego $a\times_kb\neq e_0$. Pero esto se sigue de$(3)$ e invertibilidad.
Mi pregunta vinculada prueba que $(1)$ implica los otros en el caso $n=3$, y muestra que no $n$-campo existe para $n>4$ siempre que sea cierto para $n=4$. Así que centrémonos en$4$-fields y asumir propiedad $(1)$.
Sabemos que la subestructura $(S_0,\times_0,\times_1,\times_2,e_0,e_1,e_2)$ es un $3$-campo, lo que implica, para todos $a\in S$,
$$e_0\times_0a=e_1\times_1a=e_2\times_2a=a,$$
$$e_0\times_1a=e_0\times_2a=e_0,$$
$$a\neq e_0\implies e_1\times_2a=e_1.$$
Las dos últimas líneas son propiedad $(3)$para esta subestructura. Completar$(3)$, debemos considerar la operación final $\times_3$:
$$e_0\times_3a\overset?=e_0,$$
$$a\neq e_0\overset?\implies e_1\times_3a=e_1,$$
$$e_0\neq a\neq e_1\overset?\implies e_2\times_3a=e_2.$$
Para el último, definiendo $x=e_2\times_3a$ y usando las leyes algebraicas dadas,
$$e_2\times_3a=(e_2\times_2e_2)\times_3a=(e_2\times_3a)\times_2(e_2\times_3a),$$
vemos eso $x=x\times_2x$es su propia plaza. Si$x\in S_2$ (lo que significa que no es $e_0$ o $e_1$), Entonces es $\times_2$-invertible, y dividiendo da $e_2=x$. Si en cambio$x=e_0$ o $e_1$, luego
$$a=a\times_3e_3=a\times_3(e_3\times_2e_2)=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_2)=a\times_2x,$$
entonces obtenemos $a=a\times_2e_0=e_0$o $a=a\times_2e_1=e_1$, una contradicción. Por lo tanto$x=e_2\times_3a=e_2$.
De hecho podemos probar $(2)$ desde $(1)$, al menos en el caso $n=4$. Ya lo sabemos$\times_0,\times_1,\times_2$ son invertibles en sus respectivos espacios $S_0,S_1,S_2$. Queda por considerar$a\in S_3$: eso es $\times_3$-inverso $b$ También en $S_3$? Supongamos por el contrario que$b=e_0$, $e_1$o $e_2$. Entonces, a partir de las propiedades conocidas de$3$-campos, $b=b\times_2b$, y por lo tanto
$$e_3=a\times_3b=a\times_3(b\times_2b)=(a\times_3b)\times_2(a\times_3b)=e_3\times_2e_3;$$
pero $e_3\in S_2$es invertible; dividir da$e_2=e_3$, una contradicción. Entonces debemos tener$b\in S_3$.
Respuestas
De la discusión cerca del final de la pregunta vinculada, el $\times_1\times_2$ La estructura debe ser un campo con característica no $2$; es decir,$e_2\times_1e_2\neq e_1$. Entonces el$\times_1$-inverso de $e_2$ (llamémoslo $x$) no es $e_2$sí mismo. también
$$e_2\times_1x=e_1,$$
$$e_2\times_1e_1=e_2\neq e_1,\quad e_2\times_1e_0=e_0\neq e_1,$$
que muestra que $x$ no es $e_1$ o $e_0$. Esto nos deja con$x\in S_3$.
Ya que $(-1)\cdot(-1)=1$ en cualquier campo, tenemos $x\times_2x=e_2$:
$$e_2=x\times_2x=(x\times_3e_3)\times_2(x\times_3e_3)=x\times_3(e_3\times_2e_3).$$
Dejar $y$ ser el $\times_3$-inverso de $x$. Se demostró en el OP que$y$ debe estar en $S_3$ (que es un subconjunto de $S_2$) y que cualquier cosa en $S_2$ es absorbido por $e_2\times_3y=e_2$. Multiplicando la ecuación anterior por$y$, encontramos eso
$$e_2\times_3y=x\times_3y\times_3(e_3\times_2e_3)=e_3\times_3(e_3\times_2e_3)$$
$$e_2=e_3\times_2e_3.$$
Ahora considere un elemento arbitrario $a\in S_2$:
$$a\times_2a=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_3)=a\times_3(e_3\times_2e_3)=a\times_3e_2=e_2.$$
En cualquier campo, la ecuación $a\cdot a=1$ tiene solo dos soluciones, $a=\pm1$; es decir,$a=e_2$ o $a=x$. Por lo tanto,$S$ debe tener exactamente $4$elementos. (En particular,$x=y=e_3$.)
Dado que cualquier $n$-campo es también un $k$-campo para cualquier $k<n$ (solo ignora las operaciones $\times_k,\cdots,\times_{n-1}$), se sigue que no hay $n$-campos para $n>4$.
Pero hay una extraña sorpresa en el caso. $n=|S|=4$: la estructura no es única, y de hecho $(1)$ No implica $(3),(4),(5)$.
$$\begin{array}{c|cccc}\times_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_1&e_1&e_0&e_3&e_2\\e_2&e_2&e_3&e_0&e_1\\e_3&e_3&e_2&e_1&e_0\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_2&e_0&e_2&e_3&e_1\\e_3&e_0&e_3&e_1&e_2\end{array}$$
$$\begin{array}{c|cccc}\times_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_3&e_0&e_1&e_3&e_2\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_3&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&\mathbf{e_0}&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_2\\e_3&e_0&e_1&e_2&e_3\end{array}$$