Generalizando una integral de superficie a 4 dimensiones
Estoy tratando de evaluar una integral de superficie, pero en lugar de usar una superficie en$\mathbb{R}^3$, usando una superficie en$\mathbb{R}^4$.
Es decir,
$\oint_S f(x,y,z,w)\,dS$, donde S está dada por algunos$r(u,v,t) = \left( x(u,v,t) , y(u,v,t) , z(u,v,t) , w(u,v,t)\right)$
Entonces, como una integral de línea tiene un$|r'(t)|$, una integral de superficie tiene un factor de$|r_u \times r_v|$, leí una generalización de esto usando la raíz cuadrada de una matriz de Gramian, de la que nunca había oído hablar antes de investigarla ahora, pero no sé cómo calcularla exactamente para una función paramétrica de$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$, como tenemos aquí para$r(u,v,t)$.
¿Alguien me puede ayudar con esta evaluación? ¿Se trata de integrar formas diferenciales y variedades? Sé un poco sobre geometría diferencial, pero no mucho.
¿Cómo evalúo estas integrales y cuál es la$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$análogo de$|r_u \times r_v|$?
Respuestas
Si desea obtener más información sobre la configuración general, eche un vistazo a esta respuesta mía anterior sobre Integración usando elementos de superficie y volumen . los$|r'(t)|$y$|r_u \times r_v|$usted menciona para las integrales de línea y de superficie (en$\Bbb{R}^3$) son simplemente la raíz cuadrada de la matriz Gramiana determinante (lo dejo a usted para verificar esto).
En su caso particular, ya que$S$se encuentra dentro de algún espacio euclidiano, podemos darle la métrica de Riemann inducida (es decir, podemos tomar productos punto/interior de vectores que son tangentes a la superficie$S$). Entonces, esto es lo que hacemos: primero vamos a construir un$3\times 3$función matricial$G$como sigue:\begin{align} G &= \begin{pmatrix} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial u}\right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t}\right\rangle \\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle\\ \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial u} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial v} \right\rangle & \left\langle \frac{\partial r}{\partial t}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle \end{pmatrix} \end{align}Tenga en cuenta que esta es una función matricial, lo que significa que para cada$(u,v,t)$,$G(u,v,t)$es un$3\times 3$-matriz simétrica de números obtenidos al evaluar todas las derivadas parciales anteriores en el punto$(u,v,t)$.
Como el producto interior es simétrico:$\langle v,w\rangle = \langle w,v\rangle$(y en el caso de este producto interno euclidiano es simplemente$\sum_i v^iw^i$), resulta que$G$es una matriz simétrica, por lo que si tiene que calcular un ejemplo específico, solo tiene que calcular la parte triangular superior. Como un ejemplo muy explícito, el$(1,3)$entrada de esta matriz es\begin{align} \left\langle \frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial t} \right\rangle &= \dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial y}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial z}{\partial u}\dfrac{\partial z}{\partial t} + \dfrac{\partial w}{\partial u}\dfrac{\partial w}{\partial t}. \end{align}Ahora, supongamos que la parametrización es$r:A\subset \Bbb{R}^3\to r[A] = S\subset\Bbb{R}^4$. Después,\begin{align} \int_S f \, dS &= \int_A f\circ r \cdot \sqrt{\det G} \\ &\equiv \int_A f(r(u,v,t)) \cdot \sqrt{\det[G(u,v,t)]}\, du\,dv\,dt. \end{align}(dónde$\equiv$significa "la misma cosa en diferente notación"). Ahora, esta integral triple sobre$A\subset \Bbb{R}^3$se puede calcular, por ejemplo, utilizando el teorema de Fubini.