grupo semidirecto y grupo metacíclico

Aug 18 2020

Dejar $G$ y $H$ ser grupos y $\theta : H \to Aut G$un homomorfismo. Definir$G\times_{\theta}H$ se llama el producto semidirecto de $G$ y $H$.

Dejar $C_{p}=\langle a\rangle$ y $C_{q}=\langle b\rangle$ ser grupos cíclicos (multiplicativos) de órdenes primos $p$ y $q$ respectivamente tal que $p > q$ y $q\mid p — 1$.

a. El mapa$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ dada por $a^{i}\mapsto a^{si}$ es un automorfismo.

segundo. El mapa$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ dada por $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ como en el inciso (a)) es un homomorfismo ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$.

C. Si escribimos$a$ para $(a,e)$ y $b$ para $(e,b)$, luego el grupo $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ es un grupo de orden $pq$, generado por $a$ y $b$ sujeto a las relaciones: $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, dónde $s\not\equiv 1 (\mod p)$y $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$. El grupo$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ se llama grupo metacíclico.

He intentado solucionarlo, la a , desde$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$pags$ is prime}\rbrace$, por lo tanto para algunos $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,en este caso $\alpha^{s}$ también es un generador de $C_{p}$, Ahora para algunos $m\in \mathbb{Z}$ imples $s^{m}\equiv1(\mod p)$, el mapa $\alpha:C_{p}\to C_{p}$definió un automorfismo. Calculado$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$.

Para b , intenté usar el teorema \ textit {Dyck}, pero no estoy seguro

Me gustaria saber como solucionarlo o alguna sugerencia, se lo agradezco

Respuestas

1 rain1 Aug 18 2020 at 03:07

Dejar $q | p-1$ y $C_p = \langle a \rangle$ y $C_q = \langle b \rangle$.

Para el producto semidirecto $C_p \rtimes_\theta C_q$ necesitaremos definir un homomorfismo de grupo $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$.

Tendremos un grupo de orden $pq$ y $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$


primero $\operatorname{Aut}(C_p)$

$\alpha : C_p \to C_p$

$\alpha(a^i) = a^{si}$

será un automorfismo, que es un isomorfismo de grupo de $C_p$ a $C_p$, que es un homomorfismo de grupo que también es una biyección.

Podemos demostrar que es un homomorfismo de grupo:

  • $\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
  • $\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$

y estos son iguales por lo que es.

Y será una biyección si la multiplicación por $s$ es mod invertible $p$.


$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$

$\theta(b^i) = \alpha^i$

Mostraremos que esto es un homomorfismo de grupo:

  • $\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ aplicando a $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$.
  • $\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ aplicando a $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$

y estos son iguales, por lo que este es un homomorfismo de grupo válido.


Detalle sobre $s$:

Desde $\alpha$ siendo invertible requerimos que $s$ es un mod de unidad $p$.

Desde $\theta$ siendo un homomorfismo grupal de $C_q$ (es decir $\theta(b^q) = \theta(1)$) requerimos que $\alpha^q = 1$. Así que necesitamos$s^q \equiv 1 \pmod p$.

Ahora siempre tendremos $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ para que podamos tomar una raíz primitiva $r$ y aviso $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ entonces encontramos un $s$ levantando $r$ al poder $(p-1)/q$.


En general, el producto semidirecto tiene la siguiente operación de multiplicación ($b$ es un elemento general, no el generador de $C_q$ solo para la siguiente línea):

$$(b,g)(c,h) = (b \theta(g)(c), gh)$$

Entonces en nuestro caso

$$ba = (1,b)(a,1) = (\theta(b)(a),b) = (\alpha(a),b) = (a^{s}, b) = a^{s} b$$