Haciendo una matriz $M(c)=N(c)-L(c)$ positivo definido eligiendo un escalar $c$, dónde $N(c)$ es positivo semi-definido

Question

Dejar $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$ con $n>m$ y $Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$ con $n>k$ tal que $P^T P = I_m$ y $Q^T Q = I_k$. Además, asuma$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$. Luego, pruebe la siguiente afirmación:

Existe $c>1$ tal que la matriz $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$es positivo definido. (Es decir,$v^T M v > 0$ para todos $v\in\mathbb{R}^n$ tal que $v\neq 0$ o, de manera equivalente, todos los valores propios de $M$ están en el plano medio complejo abierto derecho).

¿Es la afirmación anterior verdadera o falsa? Si es cierto, ¿cómo probarlo?

Observación 1. La matriz$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ es positivo semidefinido para todos $c$ porque tiene la forma de $H^T H$.

Observación 2. La matriz$(I_n - cQQ^T)$ es positivo semi-definido para $c=1$ y positivo definido para $0\leq c <1$. Pero ya que consideramos$c>1$, resulta ser una matriz no definida, lo que significa que tiene valores propios tanto positivos como negativos.

Answer 1

Dejar $P=w=Q$ con $\|w\|=1$, $c>1$, y deja $v\cdot w=0$, $v\ne0$. Luego$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$

De manera más general, si $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$, luego $v^TMv\le0$.

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Responda a la pregunta modificada con $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$.

Dejar $m=1$, $n>2$, dejar $P=w$ con $\|w\|=1$; dejar$Q$ ser tal que $Q^Tw=0$. Entonces, como antes$Mw=0$.