¿Hay alguna razón por la que esta técnica no sea válida?

Question

Que es $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? Una forma sencilla de evaluar este límite es sustituir$0$ para $x$ en el numerador para obtener

$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $

ya que $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ ya que una cantidad restada de la misma cantidad es 0. Esta técnica elude el problema de la división por cero mientras utiliza el hecho de que $\cos(0)$ es conocida.

Answer 1

No, no puedes reclamar eso $x=0$ en el numerador mientras $x\ne0$ en el denominador!

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Usando su método, una forma sencilla de evaluar este límite es sustituir $0$ para $x$ en el denominador para obtener $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ ya que el numerador es distinto de cero.

Answer 2

Un contraejemplo :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ En efecto $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, entonces $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$

Answer 3

@ChristinaDaniel De acuerdo, aquí hay un contraejemplo: considere la expresión $\frac{\sin 2x}{x}$ y deja $x$ ir a cero: la respuesta a este límite es $2$. Ahora considere la expresión$\frac{\sin 2x-0}{x}$ para $x$yendo a cero. La respuesta a este límite sigue siendo$2$. Pero$\sin0=0$ entonces ahora podemos considerar la expresión $\frac{\sin 2x-x}{x}$, de nuevo con $x$yendo a cero. Pero ahora este límite es$1$. Entonces, cuando haces una sustitución "parcial", la respuesta cambia. En otras palabras, cuando sustituyes$x$, debes hacer eso para cada $x$ en la expresión.

Answer 4

Dejar $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. Deseamos encontrar$\lim_{x\to e}f(x)$.

Usar el método propuesto arrojaría una respuesta incorrecta.

Answer 5

No es válido.

No puede reemplazar una variable con una constante en una parte de una expresión, sino dejarla como variable en otra.

Si desea estimar un límite reemplazando una variable con una constante, debe reemplazarla en todas partes. Si haces eso, te$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ y eso no nos ayuda en absoluto.

Debemos asumir $x \ne 0$ y si lo reemplazamos debemos reemplazarlo con $x = h\ne 0$ y obtenemos $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$y no podemos reemplazar$h$ con $0$ en la parte superior y no en la parte inferior porque $h$ ISN "T $0$. Y cualquiera que sea el$x$ en el numerador es, el $x$ en el denominador debe ser lo mismo.

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El razonamiento del error es que un poco de manipulación en la parte superior $x\approx 0$ medio $\cos x \approx \cos 0$no afectará mucho. Pero eso está mal. El fudging en la parte inferior marca una gran diferencia.$\frac 1x \not \approx \frac 10$. Eso es un no-no.

Completo no-no.

Y completamente inválido.