¿Hay más de un sólido pseudo-catalán?
Esta pregunta se hizo en MSE hace un año. La motivación para esta pregunta se puede encontrar en otras preguntas sobre MSE aquí , aquí o aquí .
Los sólidos convexos pueden tener todo tipo de simetrías:
los sólidos platónicos son transitivos de vértice y cara, lo que significa que hay un subgrupo de las rotaciones del espacio tridimensional que puede llevar cualquier vértice a otro (y lo mismo para las caras). La lista se limita a los 5 sólidos platónicos.
Los sólidos transitivos (o isoédricos) de cara incluyen los sólidos catalanes, la (familia infinita) de bipirámides y la (familia infinita) de trapezoedros. Tenga en cuenta que, sin más restricciones, estos sólidos pueden tener infinitas familias: el dodecaedro rómbico tiene un número infinito de primos deltoidales (ver dodecaedro deltoidal ); también encaja en una familia de dodecaedros de un parámetro llamada piritoedros ; el dodecaedro y el triakis tetraedro encajan en la familia de un parámetro llamada tetartoide ; las dipirámides y el trapezoedro también admiten todo tipo de deformaciones además del número de caras.
hay una simetría mucho más débil que uno puede pedir. Llamémoslo pseudo-catalán (a falta de un nombre mejor). Arreglar un "centro"$C$. El sólido convexo es pseudo-catalán, si cada cara puede enviarse a otra cara mediante una rotación con centro$C$ o un reflejo (cuyo plano pasa por $C$). Tenga en cuenta que no es necesario que esta rotación (+ reflexión) conserve todo el sólido. Un ejemplo de un sólido de este tipo que no es un sólido catalán es el icositetraedro deltoidal girado .
Pregunta: ¿hay una lista de sólidos que son pseudo-catalanes pero no catalanes? [Más desesperadamente: ¿hay tal sólido al lado del icositetraedro deltoidal girado?]
- tenga en cuenta que habría una última categoría, donde el sólido es convexo y todas las caras son congruentes (un sólido monoédrico convexo). La diferencia con la categoría anterior es que ahora se permiten las traducciones. En particular, para comprobar que un sólido pertenece a la categoría anterior, la elección de$C$(y el hecho de que todas las rotaciones y reflexiones están limitadas por este punto) es importante. Ejemplos de tales sólidos son el prisma triangular triaumentado y la bipirámide cuadrada giroelongada .
Respuestas
Esta es solo una versión detallada de los comentarios.
Como señaló M. Winter , hay una familia de poliedros con$4k$-cara que se ajusta a la factura ($k=5$es el icosaedro). Aquí hay una imagen para el caso.$k=4$ y $k=6$.
Comience con un antiprisma sobre un $k$-gon (dice el más bajo $k$-gon tiene vértices con coordenadas $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ y los vértices superiores $(e^{i \pi 2j k},h)$ dónde $0 \leq j <k$ y $h$es un número real; Estoy usando números complejos para$x$ y $y$coordenadas). Pega una pirámide en cada uno$k$-gon (la punta de las pirámides está en $(0,0,s)$ y $(0,0,h -s)$. El centro$C$ Me senté $(0,0,\tfrac{h}{2})$.
Para que los triángulos sean congruentes se puede escribir $h$ como una función de $s$ (sus $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$). Si$k>3$, requiriendo que cada cara esté a la misma distancia de $C$ (es decir $C$ será el centro de una insfera) fijará un valor de $s$ (sus $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$). El punto de las caras que minimiza la distancia a$C$ son [más bien, parecen ser] el circuncentro de los triángulos (solo marcó esto para $k=4,6$ y $7$ [Era demasiado vago para hacer el álgebra de general $k$]).
De ahí se deduce que estos sólidos son pseudo-catalanes (no pueden ser catalanes [si $k \neq 5$] ya que los vértices en la punta de las pirámides tienen grados $k$ mientras que los otros vértices tienen grado 5. Por tanto, no hay simetría global que envíe una cara de las pirámides al antiprisma.
Yo tendería a creer que estos sólidos pertenecen a una familia más grande con triángulos escalenos. Una construcción similar basada en trapezoedros (en lugar de bipirámides) sería divertida (pero no tengo idea de cómo hacer esto en este momento).
EDITAR: el caso $k=3$es singular: si se fuerza a los planos de las caras a tocar la insfera, se obtiene un trapezoedro (cuyas caras son rombos; es decir, los triángulos de la pirámide se alinean perfectamente con los del antiprisma). Si sigue utilizando el parámetro restante para que el punto más cercano a$C$ es el mismo en cada cara [triangular], en realidad da el cubo (!).
Aquí hay otro (y con suerte más simple) ejemplo (aunque definitivamente no es una lista completa de posibles sólidos). Tomar un$k$-dipirámide (los vértices ecuatoriales tienen $xy$-coordinar que son $k^\text{th}$-raíces de la unidad y $z=0$). Que las puntas de las pirámides estén en$(0,0,\pm 1)$. Cuando$k$ es incluso (así que $k \geq 4$), se puede cortar esta pirámide a lo largo del plano que pasa por las puntas y las raíces de la unidad. $\pm 1$. Esto corta la bipirámide a lo largo de un cuadrado. Ahora gire una de las dos piezas 90 ° y péguelas nuevamente. Los sólidos resultantes (que deberían, supongo, llamarse dipirámides giratorias) satisfacen las condiciones requeridas.
Ver que estos no son sólidos catalanes (a menos que $k=4$, que es simplemente tomar el octaeder, cortarlo y volver a armarlo) solo observe que hay dos tipos de caras: las que tocan el cuadrado donde ocurrió el encolado y las otras.
Aquí hay algunas fotos para $k=6$ y $k=8$.
