Ideal en $\mathbb{N}$ con cierta propiedad

Question

Dejar $\mathcal{I}$ ser un ideal en $\mathbb{N}$que contiene todos los conjuntos finitos y al menos un conjunto infinito. Definir un filtro

$\mathcal{F}:=\{D\subseteq\mathbb{N}\mid \forall A\in\mathcal{I},A\cap D^{c}\text{ is finite, or equivalently} A\subseteq^{*}D\}$.

$\mathcal{F}$ contiene el filtro de cofinita, y parece que si $\mathcal{I}$ es primo entonces $\mathcal{F}$no contiene nada más. ¿Se sostiene lo contrario? En otras palabras, digamos que un ideal tiene la propiedad P si el filtro correspondiente es el filtro de cofinita. ¿Es P lo mismo que ser primo? ¿O hay una caracterización simple de P?

Alguien sugirió que esto es lo mismo que pedir $\mathcal{E}\subseteq(\mathcal{P}_{coinf}(\mathbb{N}),\subseteq^{*})$ que es ilimitado bajo $\subseteq^{*}$y genera un ideal no primo adecuado. Descubrí que no sé nada sobre este poset. ¿Cuál es su tipo cofinal? ¿Cuál es su relación con otros posets como$(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},<^{*})$?

Antecedentes: estaba pensando si definimos una topología en $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ al requerir que ciertas secuencias converjan para $\infty$, ¿habrá más (y qué) secuencias convergiendo a $\infty$de lo que esperábamos. Vea también esta pregunta.

Answer 1

Dado $P_1,P_2$ ideales primos no principales en $\mathbb{N}$ con $P_1\neq P_2$, dejar $\mathcal{I}= P_1\cap P_2$. Entonces$\mathcal{I}$ es un ideal que contiene todos los conjuntos finitos, pero no primos (ya que debe haber algunos $A\subseteq \mathbb{N}$ con $A\notin P_1, A^c\notin P_2$).

sin embargo $\mathcal{I}$ satisface la propiedad P: Dado cualquier $D$ no cofinito, podemos dividir $D^c$ dentro $4$ piezas infinitas: $D_{11,}D_{12},D_{21},D_{22}$. Entonces$D_{i1}\cup D_{i2}\in P_1$ para algunos $i$ y $D_{1j}\cup D_{2j}\in P_2$ para algunos $j$. Así$D_{ij}\in \mathcal{I}$ y $D_{ij}\cap D^c=D_{ij}$ es infinito.

Answer 2

Dejar $X$ ser una familia máxima casi disjunta de subconjuntos de $\mathbb{N}$, y deja $\mathcal{I}$ ser el ideal generado por $X$. Entonces$\mathcal{F}$ será el filtro de cofinita: si $D\in\mathcal{F}$ entonces $D^c$ es casi desarticulado de todos los elementos de $X$, y por tanto debe ser finito por la maximalidad de $X$. Sin embargo,$\mathcal{I}$no es primo. Por ejemplo, si toma dos subfamilias incontables e infinitas inconexas$Y,Z\subset X$, luego con un simple argumento de diagonalización puedes construir $A\subset\mathbb{N}$ que casi contiene todos los elementos de $Y$ y es casi desarticulado de todos los elementos de $Z$. Entonces$A\not\in\mathcal{I}$ ya que cada elemento de $\mathcal{I}$ tiene una intersección infinita con sólo un número finito de elementos de $X$y $A^c\not\in\mathcal{I}$ por la misma razón.