Identidad de polarización si operador

Aug 19 2020

Dejar $\mathcal{H}$ ser un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{C}$. Conozco (y probé) la siguiente identidad de polarización: \ begin {eqnarray} \ langle x, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y \ rangle \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} para$x,y \in \mathcal{H}$. Ahora, me gustaría probar el siguiente resultado como consecuencia de (\ ref {1}): \ begin {eqnarray} \ langle Ax, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0 } ^ {3} i ^ {k} \ langle A (x + iy), x + iy \ rangle \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray} donde$A$ es cualquier operador lineal acotado dado en $\mathcal{H}$. Si cambias$x$ a $Ax$en (\ ref {1}) obtienes: \ begin {eqnarray} \ langle Ax, y \ rangle = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ langle Ax + iy, Ax + iy \ rangle \ tag {3} \ label {3} \ end {eqnarray} pero no (\ ref {2}) y estoy atascado en este punto. ¿Cómo (\ ref {1}) implica (\ ref {2})?

Respuestas

2 MathMath Aug 19 2020 at 01:28

Gracias a los comentarios, creo que lo entendí. Primero, debemos mostrar que la identidad de polarización también se mantiene en un contexto más general, es decir, si$T:\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$ satisface las siguientes propiedades:

(un) $T(x,\alpha y + \beta z) = \bar{\alpha}T(x,y)+\bar{\beta}T(x,z)$

(segundo) $T(\alpha x + \beta z, y) = \alpha T(x,y) + \beta T(z,y)$

entonces, se sigue que:

\ begin {eqnarray} T (x, y) = \ frac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} T (x + i ^ {k} y, x + i ^ {k} y) \ etiqueta {1 '} \ etiqueta {1.1} \ end {eqnarray}

Prueba de (\ ref {1.1}): Escriba:$$T(x,y) = T\bigg{(}\frac{1}{2}(x+iy+x-iy), \frac{1}{2i}(x+iy - (x-iy))\bigg{)}$$ Usando las propiedades (a) y (b), obtenemos: $$T(x,y) = -\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$

Ahora, tenga en cuenta que: $$-\frac{1}{4i}[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)] = \frac{1}{4}i[T(x+iy,x+iy)-T(x-iy,x-iy)]$$ y, usando (a) y (b) nuevamente, también tenemos: $$\frac{1}{4}i [-T(x+iy,x-iy)+T(x-iy,x+iy)] = \frac{1}{4}i[2T(x,iy)-2T(iy,x)] = \frac{1}{4}i[-2iT(x,y)-2iT(y,x)] = \frac{1}{2}[T(x,y)+T(y,x)] = \frac{1}{4}[T(x+y,x+y)-T(x-y,x-y)]$$ y (\ ref {1.1}) sigue.

Ahora, el resultado sigue configurando $T(x,y) := \langle Ax,y\rangle$ para todos $x,y \in \mathcal{H}$.